Qu'est-ce que la calculatrice de loi de Pareto ?
Cet outil évalue la loi de Pareto de type I, une loi de probabilité continue très utilisée pour modéliser la répartition des richesses, la taille des villes, la taille des fichiers et d'autres phénomènes à queue lourde. À partir d'un point \(x\), d'un paramètre d'échelle \(x_m\) et d'un paramètre de forme \(\alpha\) (l'indice de queue), elle renvoie la densité de probabilité (PDF), la probabilité cumulée inférieure (à gauche) \(P(X \le x)\) et la probabilité cumulée supérieure (à droite) \(P(X > x)\). Il s'agit d'un outil purement mathématique, indépendant de tout pays.
Comment l'utiliser
Saisissez le point de percentile \(x\), le paramètre d'échelle \(x_m\) (qui doit être strictement supérieur à 0) et le paramètre de forme \(\alpha\) (lui aussi strictement supérieur à 0). La calculatrice renvoie trois valeurs. Les probabilités cumulées inférieure et supérieure ont toujours une somme égale à 1 : un repère pratique pour vérifier vos résultats.
La formule expliquée
La loi de Pareto est définie sur le domaine \(x \ge x_m\). Pour \(x \ge x_m\), la densité vaut
$$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}$$la fonction de répartition (CDF) est
$$F(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$et la fonction de survie est
$$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$Pour \(x\) inférieur à \(x_m\), la variable se situe hors de son domaine de définition : on a donc \(f(x) = 0\), \(F(x) = 0\) et \(Q(x) = 1\). Plus \(\alpha\) est grand, plus la queue est légère et plus la probabilité d'observer de grandes valeurs décroît rapidement.
Exemple détaillé
Prenons \(x = 2\), \(x_m = 1\) et \(\alpha = 1\). Comme \(2 \ge 1\), on utilise la branche active. Le rapport \(x_m/x = 0{,}5\). On obtient alors
$$f(2) = \frac{1 \cdot 1}{2^2} = 0{,}25$$$$F(2) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$$et \(Q(2) = 0{,}5\). Vérification : \(0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}0\).
FAQ
Que signifie le paramètre de forme alpha ? C'est l'indice de queue : un \(\alpha\) plus petit donne une queue plus lourde (davantage de valeurs extrêmes élevées), tandis qu'un \(\alpha\) plus grand donne une queue plus légère.
Pourquoi la densité est-elle nulle en dessous de xm ? La loi de Pareto de type I n'est définie que pour \(x \ge x_m\) ; le paramètre d'échelle correspond à la valeur minimale possible de la variable.
La loi possède-t-elle une moyenne finie ? La moyenne n'existe que lorsque \(\alpha\) est strictement supérieur à 1 ; la variance n'existe que lorsque \(\alpha\) est strictement supérieur à 2.
