什麼是柏拉圖分布計算器？
本工具用於計算第一型柏拉圖分布（Pareto Type I），這是一種連續機率分布，常用來描述財富分配、城市規模、檔案大小等具有「重尾」特性的現象。只要給定一個點 \(x\)、尺度參數 \(x_m\) 以及形狀參數 \(\alpha\)（即尾部指數），計算器就會回傳機率密度（PDF）、下方（左側）累積機率 \(P(X \le x)\)，以及上方（右側）累積機率 \(P(X > x)\)。它是一個純數學工具，不限定於任何國家或地區。
如何使用
輸入百分位點 \(x\)、尺度參數 \(x_m\)（必須大於 0），以及形狀參數 \(\alpha\)（必須大於 0）。計算器會回傳三個數值。下累積機率與上累積機率相加必定等於 1，可作為驗算結果是否正確的方便檢查。
公式說明
柏拉圖分布的定義域為 \(x\) 不小於 \(x_m\)。當 \(x \ge x_m\) 時，密度函數為 $$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}$$ 累積分布函數（CDF）為 $$F(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ 存活函數為 $$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ 當 \(x\) 小於 \(x_m\) 時，該變數落在定義域之外，因此 \(f(x) = 0\)、\(F(x) = 0\)、\(Q(x) = 1\)。\(\alpha\) 越大代表尾部越輕，出現極大值的機率衰減得越快。
實際範例
假設 \(x = 2\)、\(x_m = 1\)、\(\alpha = 1\)。由於 2 不小於 1，套用有效的分支計算。比值 \(x_m/x = 0.5\)。於是 $$f(2) = \frac{1 \cdot 1}{2^2} = 0.25$$ $$F(2) = 1 - 0.5 = 0.5$$ $$Q(2) = 0.5$$ 驗算：\(0.5 + 0.5 = 1.0\)。
常見問題
形狀參數 alpha 代表什麼？它就是尾部指數：\(\alpha\) 越小，尾部越重（更容易出現極端的大數值）；\(\alpha\) 越大，尾部越輕。
為什麼 x 小於 xm 時密度為 0？第一型柏拉圖分布只在 \(x \ge x_m\) 的範圍內有定義；尺度參數 \(x_m\) 就是該變數可能取到的最小值。
這個分布有有限的平均數嗎？只有當 \(\alpha\) 大於 1 時平均數才存在；只有當 \(\alpha\) 大於 2 時變異數才存在。
