什麼是廣義帕累托分配的百分位數？
廣義帕累托分配（Generalized Pareto Distribution，簡稱 GPD）是一種連續型機率分配，在極值統計中被廣泛用來描述資料的尾端行為，也就是超過某個高門檻值的「超越量」。它的百分位數（又稱分位數或百分點）指的是使累積機率 \(F(x)\) 等於指定機率 \(P\) 的數值 \(x\)。本計算器會在給定三個標準參數——位置參數 \(\mu\)、尺度參數 \(\sigma\)、形狀參數 \(\xi\)——的情況下，計算其反累積分配函數（反 CDF）。這是一個純粹的統計函數，不專屬於任何國家或法規制度。
計算器使用方式
請先選擇累積機率模式。當你的機率是 \(P = \Pr(X \le x)\) 時，選擇「下尾累積機率 \(P\)」；當你的機率是存活機率 \(Q = \Pr(X > x)\) 時，則選擇「上尾累積機率 \(Q\)」，工具會在內部以 \(P = 1 - Q\) 進行換算。接著輸入累積機率（介於 0 與 1 之間）、位置參數 \(\mu\)、尺度參數 \(\sigma\)（必須大於 0），以及形狀參數 \(\xi\)。計算結果即為該機率點對應的百分位數 \(x\)。
公式說明
GPD 的累積分配函數在 \(\xi \ne 0\) 時為 $$F(x) = 1 - \left(1 + \frac{\xi(x - \mu)}{\sigma}\right)^{-1/\xi}$$ 而當 \(\xi = 0\) 時為 $$F(x) = 1 - \exp\left(-\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$$ 給定下尾累積機率 \(P\) 並對 \(x\) 反解，當 \(\xi \ne 0\) 時可得 $$x = \mu + \frac{\sigma}{\xi}\left[(1 - P)^{-\xi} - 1\right]$$ 當 \(\xi = 0\) 時則為 $$x = \mu - \sigma\ln(1 - P)$$ 由於除以 \(\xi\) 在零時無法運算，因此只要 \(|\xi| < 1\mathrm{e}{-12}\)，都會以指數分配的情況來處理。
實際範例
設模式 = 下尾、\(P = 0.9\)、\(\mu = 0\)、\(\sigma = 1\)、\(\xi = 0.5\)： $$x = \frac{1}{0.5}\cdot\left[(1 - 0.9)^{-0.5} - 1\right] = 2\cdot\left[0.1^{-0.5} - 1\right] = 2\cdot\left[3.1622777 - 1\right] = 4.3245553$$
常見問題
當 \(\xi = 0\) 時會發生什麼事？ 此時 GPD 會退化為平移後的指數分配，分位數便改用上述的對數公式計算。
上方的支撐範圍一定是無限大嗎？ 不一定。當 \(\xi < 0\) 時，支撐範圍在上方會受限於 \(x = \mu - \sigma/\xi\)；當 \(P = 1\) 時，計算器會回傳此有限端點。若 \(\xi \ge 0\)，上尾則無上界，\(P = 1\) 時會得到正無窮大。
為什麼 \(\sigma\) 必須為正？ 尺度參數 \(\sigma\) 決定了分配的離散程度；若 \(\sigma\) 為非正值，則分配將無法定義。
