Qu'est-ce que le calculateur de percentile de la loi de Pareto ?
Cet outil calcule le percentile, également appelé quantile, d'une loi de Pareto de type I. À partir d'une probabilité cumulée cible et des deux paramètres de la distribution — le paramètre d'échelle \(a\) (la valeur minimale \(x_m\)) et le paramètre de forme \(b\) (alpha, l'indice de queue) — il renvoie la valeur \(x\) pour laquelle la distribution atteint cette probabilité. La loi de Pareto est couramment utilisée pour modéliser la richesse, les revenus, la taille des villes, la taille des fichiers et d'autres phénomènes à queue lourde qui suivent la fameuse règle des « 80/20 ».
Comment l'utiliser
Choisissez d'abord le mode cumulatif. Sélectionnez « Cumul inférieur P » si votre probabilité correspond à la FDR de la queue inférieure \(P = \Pr(X \le x)\), ou « Cumul supérieur Q » s'il s'agit de la fonction de survie de la queue supérieure \(Q = \Pr(X > x)\). Saisissez la probabilité cumulée comprise entre 0 et 1, puis le paramètre d'échelle \(a\) (qui doit être strictement positif) et le paramètre de forme \(b\) (également strictement positif). Le calculateur ramène votre saisie à une probabilité de queue inférieure et inverse la FDR.
La formule expliquée
La FDR de la loi de Pareto de type I pour \(x \ge a\) s'écrit $$P(x) = 1 - \left(\frac{a}{x}\right)^{b}.$$ En isolant \(x\), on obtient $$x = a \cdot \left(1 - P\right)^{-1/b}.$$ Lorsque vous fournissez une probabilité de queue supérieure \(Q\), notez que \(1 - P = Q\), de sorte que la formule devient $$x = a \cdot Q^{-1/b}.$$ Comme \(a > 0\) et \(0 \le 1 - P \le 1\) avec \(b > 0\), le résultat vérifie toujours \(x \ge a\), c'est-à-dire qu'il appartient bien au support de la distribution.
Exemple concret
Prenons le cas de la queue supérieure avec \(Q = 0{,}1\), \(a = 2\) et \(b = 3\). On a alors $$x = 2 \cdot (0{,}1)^{-1/3} = 2 \cdot 10^{1/3} = 2 \cdot 2{,}15443 = 4{,}30887.$$ Vérification : \(Q(x) = \left(\frac{2}{4{,}30887}\right)^{3} \approx 0{,}1\), ce qui confirme le résultat. Pour la loi de Pareto standard avec \(a = 1\), \(b = 1\) et \(P = 0{,}5\), la médiane vaut $$x = \frac{1}{1 - 0{,}5} = 2.$$
FAQ
Que se passe-t-il pour \(P = 1\) (ou \(Q = 0\)) ? Le quantile n'est pas borné (il tend vers l'infini), car la loi de Pareto possède une queue droite infiniment longue. Le calculateur signale ce cas plutôt que de diviser par zéro.
Que signifie le résultat lorsque \(P = 0\) ? Le quantile est égal à \(a\), soit la valeur minimale et la borne inférieure du support.
Quelle différence entre l'échelle et la forme ? L'échelle \(a\) fixe la valeur minimale possible, tandis que la forme \(b\) détermine l'épaisseur de la queue : plus \(b\) est petit, plus la queue est lourde et plus les valeurs extrêmes sont grandes.
