Что делает этот калькулятор
Это универсальный инструмент чистой математической статистики, который вычисляет значения экспоненциального распределения на диапазоне x и возвращает готовую для построения графика таблицу пар (x, y). Можно рассчитать плотность вероятности \(f(x)\), нижнюю кумулятивную вероятность \(P(x)\) (функцию распределения, CDF) или верхнюю кумулятивную вероятность \(Q(x)\) (функцию выживания). Поскольку это чистая математика, результаты одинаково справедливы в любой стране и любой области применения.
Запись через параметр масштаба
Калькулятор использует форму с параметром масштаба \(b\), а не интенсивностью лямбда. Здесь \(b\) — это среднее значение распределения, а интенсивность равна \(\lambda = 1/b\). Плотность задаётся как $$f(x,b) = \frac{1}{b}\, e^{-x/b}$$ функция распределения — $$P(x,b) = 1 - e^{-x/b}$$ а функция выживания — $$Q(x,b) = e^{-x/b}$$ Для любого допустимого \(x\) выполняется равенство \(P(x,b) + Q(x,b) = 1\). Распределение определено при \(x \ge 0\) и \(b > 0\).
Как пользоваться
Выберите функцию (плотность, нижняя кумулятивная или верхняя кумулятивная). Укажите параметр масштаба \(b\) (среднее, должно быть положительным), начальное значение \(x\) (ноль или больше), шаг приращения для каждой строки и число повторений (строк). Таблица начинается с начального \(x\) и для каждой следующей строки прибавляет шаг.
Разбор примера
При функции = плотность, \(b = 2\), начальном \(x = 0\), шаге = 0,1 и 101 строке: первая строка даёт \(f(0) = \frac{1}{2}\cdot e^0 = 0{,}5\). При \(x = 1{,}0\) получаем \(f = 0{,}5 \cdot e^{-0{,}5} = 0{,}303265\). При \(x = 2{,}0\) — \(f = 0{,}5 \cdot e^{-1} = 0{,}183940\). Последняя строка (\(x = 10{,}0\)) даёт \(f = 0{,}5 \cdot e^{-5} = 0{,}003369\). Если переключиться на нижнюю кумулятивную при \(x = 2\), то \(P = 1 - e^{-1} = 0{,}632121\), а верхняя кумулятивная даёт \(Q = e^{-1} = 0{,}367879\) — в сумме они равны 1.
Частые вопросы
\(b\) — это среднее или интенсивность? \(b\) — это среднее (параметр масштаба). Интенсивность лямбда равна \(1/b\), поэтому чем больше \(b\), тем реже происходят события.
Почему \(x\) должно быть не меньше 0? Экспоненциальное распределение определено только при неотрицательных \(x\); при \(x < 0\) плотность равна 0, \(P\) равна 0, а \(Q\) равна 1.
Что будет, если задать шаг равным 0? Во всех строках окажется одно и то же значение \(x\). Это допустимо, но обычно для построения кривой нужен положительный шаг.
