यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह एक सार्वभौमिक, शुद्ध गणित आधारित सांख्यिकी टूल है जो x के एक निश्चित दायरे में एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रिब्यूशन का मान निकालता है और (x, y) जोड़ों की ग्राफ़-रेडी टेबल लौटाता है। आप संभावना घनत्व \(f(x)\), निचली संचयी संभावना \(P(x)\) (यानी CDF), या ऊपरी संचयी संभावना \(Q(x)\) (यानी सर्वाइवल फ़ंक्शन) में से कोई भी निकाल सकते हैं। चूँकि यह पूरी तरह गणितीय है, इसलिए इसके परिणाम किसी भी देश या उपयोग के क्षेत्र में बिल्कुल एक समान लागू होते हैं।
स्केल-पैरामीटर वाला रूप
यह टूल रेट lambda के बजाय स्केल-पैरामीटर b वाला रूप इस्तेमाल करता है। यहाँ b डिस्ट्रिब्यूशन का माध्य (mean) है और रेट \(\lambda = 1/b\) होती है। घनत्व $$f(x,b) = \frac{1}{b}\, e^{-x/b}$$ है, CDF $$P(x,b) = 1 - e^{-x/b}$$ है, और सर्वाइवल फ़ंक्शन $$Q(x,b) = e^{-x/b}$$ है। हर मान्य x के लिए ये \(P(x,b) + Q(x,b) = 1\) के नियम का पालन करते हैं। यह डिस्ट्रिब्यूशन \(x \ge 0\) और \(b > 0\) के लिए परिभाषित है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले कोई एक फ़ंक्शन चुनें (घनत्व, निचला संचयी, या ऊपरी संचयी)। फिर स्केल पैरामीटर b (यानी माध्य, जो धनात्मक होना चाहिए), x का शुरुआती मान (जो शून्य या उससे अधिक होना चाहिए), हर पंक्ति में जोड़ा जाने वाला वृद्धि-मान, और पंक्तियों की संख्या (दोहराव) भरें। टेबल शुरुआती x से शुरू होती है और हर अगली पंक्ति में वृद्धि-मान जुड़ता जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए फ़ंक्शन = घनत्व, \(b = 2\), शुरुआती \(x = 0\), वृद्धि = 0.1, और 101 पंक्तियाँ हैं: पहली पंक्ति में \(f(0) = \frac{1}{2}e^0 = 0.5\) मिलेगा। \(x = 1.0\) पर \(f = 0.5 \cdot e^{-0.5} = 0.303265\) होगा। \(x = 2.0\) पर \(f = 0.5 \cdot e^{-1} = 0.183940\) होगा। आख़िरी पंक्ति (\(x = 10.0\)) में \(f = 0.5 \cdot e^{-5} = 0.003369\) मिलेगा। अब अगर \(x = 2\) पर निचले संचयी पर स्विच करें तो \(P = 1 - e^{-1} = 0.632121\) मिलेगा, और ऊपरी संचयी में \(Q = e^{-1} = 0.367879\) मिलेगा — दोनों का जोड़ 1 होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या b माध्य है या रेट? b माध्य (स्केल पैरामीटर) है। रेट lambda इसका \(1/b\) होता है, इसलिए b जितना बड़ा होगा, घटनाएँ उतनी ही कम बार घटित होंगी।
x कम-से-कम 0 क्यों होना चाहिए? एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रिब्यूशन केवल अऋणात्मक x पर ही परिभाषित होता है; \(x < 0\) के लिए घनत्व 0 होता है, P भी 0 और Q की मान 1 होती है।
अगर वृद्धि-मान 0 रख दूँ तो? तब हर पंक्ति में x का मान एक जैसा ही रहेगा। यह करना मना नहीं है, पर वक्र (curve) बनाने के लिए आमतौर पर आपको धनात्मक वृद्धि-मान ही चाहिए होता है।
