이 계산기의 기능
이 도구는 특정 국가나 분야에 얽매이지 않는 순수 수학 기반의 통계 계산기로, 지정한 x 구간에서 지수분포를 계산해 그래프로 바로 활용할 수 있는 (x, y) 표를 만들어 줍니다. 확률밀도 \(f(x)\), 하측 누적확률 \(P(x)\)(누적분포함수 CDF), 상측 누적확률 \(Q(x)\)(생존함수) 중 원하는 값을 골라 계산할 수 있습니다. 순수 수학 계산이므로 어느 나라, 어느 분야에서 사용하든 결과는 똑같이 적용됩니다.
척도모수 형태로 표현하기
이 계산기는 비율(rate) 람다(lambda) 대신 척도모수(scale parameter) \(b\)를 사용합니다. 여기서 \(b\)는 분포의 평균이며, 비율은 \(\lambda = 1/b\) 로 정의됩니다. 밀도함수는 $$f(x,b) = \frac{1}{b}\, e^{-x/b}$$ 누적분포함수는 $$P(x,b) = 1 - e^{-x/b}$$ 생존함수는 $$Q(x,b) = e^{-x/b}$$ 입니다. 유효한 모든 \(x\)에 대해 \(P(x,b) + Q(x,b) = 1\) 이 성립합니다. 이 분포는 \(x \ge 0\) 이고 \(b > 0\) 인 범위에서 정의됩니다.
사용 방법
먼저 함수(밀도, 하측 누적, 상측 누적) 중 하나를 선택합니다. 그다음 척도모수 \(b\)(평균, 반드시 양수), \(x\)의 초기값(0 이상), 각 행마다 더해지는 증분, 반복 횟수(행 수)를 입력하세요. 표는 초기 \(x\) 값에서 시작해 행이 늘어날 때마다 증분을 더해 나갑니다.
계산 예시
함수 = 밀도, \(b = 2\), 초기 \(x = 0\), 증분 = 0.1, 행 수 = 101 로 설정한 경우를 살펴보겠습니다. 첫 번째 행은 $$f(0) = \frac{1}{2}e^0 = 0.5$$ 입니다. \(x = 1.0\) 일 때 \(f = 0.5 \cdot e^{-0.5} = 0.303265\), \(x = 2.0\) 일 때 \(f = 0.5 \cdot e^{-1} = 0.183940\) 이 됩니다. 마지막 행(\(x = 10.0\))에서는 \(f = 0.5 \cdot e^{-5} = 0.003369\) 입니다. 함수를 하측 누적으로 바꾸면 \(x = 2\) 에서 \(P = 1 - e^{-1} = 0.632121\), 상측 누적이면 \(Q = e^{-1} = 0.367879\) 이며, 두 값을 더하면 1이 됩니다.
자주 묻는 질문
\(b\)는 평균인가요, 비율인가요? \(b\)는 평균(척도모수)입니다. 비율 람다는 \(1/b\) 이므로, \(b\)가 클수록 사건이 더 드물게 발생한다는 뜻입니다.
\(x\)는 왜 0 이상이어야 하나요? 지수분포는 음이 아닌 \(x\)에 대해서만 정의됩니다. \(x < 0\) 인 경우 밀도는 0, \(P\)는 0, \(Q\)는 1이 됩니다.
증분을 0으로 설정하면 어떻게 되나요? 모든 행이 동일한 \(x\) 값을 갖게 됩니다. 설정 자체는 가능하지만, 곡선을 그리려면 보통 양수 증분을 사용하는 것이 좋습니다.
