Что такое факториал?
Факториал неотрицательного целого числа n, который записывается как n!, — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Например, \(5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120\). По математическому соглашению \(0! = 1\) (пустое произведение). Факториалы растут невероятно быстро — уже 10! превышает три миллиона, — поэтому калькулятор работает со значениями от 0 до 170. Именно 170! — наибольший факториал, который ещё помещается в стандартное число двойной точности.
Как пользоваться калькулятором
Введите целое число n от 0 до 170 — и калькулятор сразу выдаст n!. Больше ничего настраивать не нужно: факториал определён только для неотрицательных целых чисел, поэтому дробные и отрицательные значения не принимаются. В поле результата отображается полное вычисленное значение n!.
Разбор формулы
В математической записи $$\text{n}! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times \text{n}.$$ Факториал также можно задать рекуррентно: \(\text{n}! = \text{n} \times (\text{n} - 1)!\), где базовый случай — \(0! = 1\). На каждом шаге текущее произведение умножается на следующее целое число. Факториал показывает, сколькими способами можно упорядочить n различных объектов (число перестановок), — поэтому он встречается в комбинаторике, теории вероятностей и разложениях рядов.
Пример расчёта
Чтобы найти 6!, перемножаем шаг за шагом: \(1 \times 2 = 2\), \(\times 3 = 6\), \(\times 4 = 24\), \(\times 5 = 120\), \(\times 6 = 720\). Итого $$6! = 720.$$ Это значит, что шесть различных предметов можно расставить в 720 разных порядках.
Частые вопросы
Почему 0! равно 1? Факториал считает число перестановок, а упорядочить ноль объектов можно ровно одним способом — это «пустая» расстановка. К тому же такое определение сохраняет согласованность формул, например для числа сочетаний nCr.
Можно ли вычислить факториал дробного числа? Обычным факториалом — нет. Чтобы распространить факториал на нецелые числа, нужна гамма-функция, а её этот калькулятор не использует.
Почему предел — 170? Значение \(170! \approx 7{,}26 \times 10^{306}\) — это наибольший факториал, не превышающий максимума для числа с плавающей точкой двойной точности; 171! уже переполняет диапазон и обращается в бесконечность.
