ما هو المضروب؟
مضروب أي عدد صحيح غير سالب n، ويُكتب n!، هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة بدءًا من 1 وحتى n. على سبيل المثال: \(5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120\). وبحسب الاصطلاح الرياضي المتعارف عليه، فإن \(0! = 1\) (الجداء الفارغ). تنمو قيم المضروب بسرعة هائلة — فمضروب 10 يتجاوز ثلاثة ملايين بالفعل — لذا تدعم هذه الحاسبة القيم من 0 وحتى 170، وهو أكبر مضروب يمكن تمثيله ضمن عدد ذي دقة مزدوجة قياسية (double).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل عددًا صحيحًا n بين 0 و170، وستعرض الأداة قيمة \(n!\) على الفور. لا حاجة إلى أي إعدادات إضافية: فالمضروب معرَّف فقط للأعداد الصحيحة غير السالبة، ولذلك لا تُقبل الأعداد العشرية ولا السالبة. تُظهر لوحة النتيجة القيمة الكاملة المحسوبة لـ \(n!\).
شرح الصيغة
رياضيًا: $$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$$ ويمكن كتابتها أيضًا بصيغة تعاودية (تكرارية) على النحو \(n! = n \times (n - 1)!\)، مع الحالة الأساسية \(0! = 1\). ففي كل خطوة، نضرب الجداء المتراكم في العدد الصحيح التالي. يحسب المضروب عدد الطرق الممكنة لترتيب n من العناصر المتمايزة في تسلسل (التباديل)، ولهذا يظهر بكثرة في علم التوافيق والاحتمالات ومتسلسلات النشر.
مثال محلول
لإيجاد \(6!\)، نضرب خطوة بخطوة: \(1 \times 2 = 2\)، ثم \(\times 3 = 6\)، ثم \(\times 4 = 24\)، ثم \(\times 5 = 120\)، ثم \(\times 6 = 720\). إذن $$6! = 720$$ وهذا يعني أن هناك 720 طريقة مختلفة لترتيب ستة عناصر متمايزة.
الأسئلة الشائعة
لماذا يساوي \(0!\) القيمة 1؟ لأن المضروب يحسب عدد التباديل، وهناك طريقة واحدة فقط لترتيب صفر من العناصر (الترتيب الفارغ). كما أن هذا يحافظ على اتساق صيغ مثل صيغة التوافيق \(nCr\).
هل يمكنني حساب مضروب عدد عشري؟ ليس باستخدام المضروب الأساسي. فتوسيع المضروب ليشمل الأعداد غير الصحيحة يتطلب دالة جاما، وهي غير مشمولة في هذه الحاسبة.
لماذا تتوقف الحاسبة عند 170؟ لأن \(170! \approx 7.26 \times 10^{306}\) هو أكبر مضروب يقع تحت أقصى قيمة يمكن أن يحملها عدد عشري ذو دقة مزدوجة (double)؛ أما \(171!\) فيتجاوز هذا الحد ويتحول إلى ما لا نهاية.
