ما هو المضروب (العاملي)؟
مضروب العدد الصحيح غير السالب n، ويُكتب !n، هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 حتى n. يظهر المضروب في فروع كثيرة من الرياضيات — وخاصة في علم التوافيق والاحتمالات والجبر والتفاضل والتكامل — حيث يُستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لترتيب العناصر أو تنظيمها. تحسب هذه الأداة قيمة !n فورًا لأي عدد صحيح غير سالب.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل عددًا صحيحًا n (صفرًا أو أكبر) في خانة الإدخال، فتعطيك الحاسبة قيمة !n. ولأن المضروب ينمو بسرعة كبيرة جدًا، تكون القيم دقيقة كأعداد صحيحة تامة بالنسبة للأعداد الصغيرة، وتُعرض بدقة الفاصلة العائمة القياسية للأعداد الأكبر. فالنتيجة تصبح ضخمة بسرعة: فمثلًا !13 يتجاوز بالفعل 6 مليارات، بينما تقترب قيمة !170 من أكبر قيمة يمكن تمثيلها بنوع double القياسي.
شرح القانون
القانون الأساسي هو:
$$\text{n}! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times \text{n}$$
وهناك حالة خاصة مهمة وهي \(0! = 1\)، وذلك لأن حاصل ضرب «لا شيء» (الجداء الفارغ) يُعرَّف بأنه 1. يحافظ هذا الاصطلاح على اتساق قوانين التوافيق — فعلى سبيل المثال، توجد طريقة واحدة فقط لترتيب صفر من العناصر.
مثال محلول
لنفترض أنك تريد حساب !5. اضرب خطوة بخطوة: \(1 \times 2 = 2\)، ثم \(2 \times 3 = 6\)، ثم \(6 \times 4 = 24\)، ثم \(24 \times 5 = 120\). إذن $$5! = 120$$ وهذا يعني أن هناك 120 طريقة مختلفة لترتيب 5 عناصر متمايزة في صف واحد.
الأسئلة الشائعة
لماذا تساوي !0 الواحد؟ بسبب اصطلاح الجداء الفارغ، ولأن ذلك يجعل قوانين التباديل والتوافيق متسقة لجميع القيم.
هل يمكنني حساب مضروب عدد سالب أو عشري؟ لا، ليس بهذه الأداة. فالمضروب القياسي مُعرَّف فقط للأعداد الصحيحة غير السالبة. أما دالة جاما (Gamma) فتُعمِّم فكرة المضروب لتشمل أعدادًا أخرى، لكن ذلك خارج نطاق هذه الحاسبة.
لماذا يوجد حد أقصى للإدخال؟ ينمو المضروب بسرعة هائلة لدرجة أن القيم الأكبر من !170 تتجاوز سعة الحساب القياسي بدقة double، ولذلك يُحدَّد الإدخال بحد أقصى 170.
