階乘計算機

輸入計算

輸入一個非負整數 (n)

結果

Factorial of 5

120

n! = 5!

輸入 n	5
n!	120

什麼是階乘？

非負整數 n 的階乘記作 n!，代表從 1 一路乘到 n 的所有正整數之乘積。階乘在數學中隨處可見，尤其常出現在組合數學、機率、代數與微積分裡，用來計算物件排列或排序的方法數。這個計算機能立即算出任何非負整數的 n!。

階乘是從 n 一直乘到 1 的所有整數的乘積。

如何使用本計算機

在輸入框中填入一個整數 n（0 或更大），計算機便會回傳 n!。由於階乘的增長速度極快，較小的 n 會以精確整數呈現，較大的輸入值則以標準浮點數精度顯示。結果會迅速變得非常龐大：13! 已超過 60 億，而 170! 已接近標準雙精度浮點數所能表示的最大值。

公式說明

階乘的定義公式為：

$$\text{n}! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times \text{n}$$

一個重要的特例是 \(0! = 1\)。這是因為「沒有任何數相乘」（即空乘積）依定義等於 1。這項慣例能讓組合公式保持一致——例如，把零個物件排列的方法恰好只有一種。

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隨著 n 增大，階乘增長得非常快。

範例演練

假設我們要算 5!。逐步相乘：\(1 \times 2 = 2\)，接著 \(2 \times 3 = 6\)，再來 \(6 \times 4 = 24\)，最後 \(24 \times 5 = 120\)。所以 \(5! = 120\)。這代表把 5 個不同物件排成一列，總共有 120 種不同的排法。

常見問題

為什麼 0! 等於 1？這源自空乘積的慣例，同時也能讓排列與組合公式對所有數值都保持一致正確。

我可以計算負數或小數的階乘嗎？本工具不行。標準的階乘只對非負整數有定義。Gamma 函數能將階乘推廣到其他數值，但這已超出本計算機的範圍。

為什麼會有輸入上限？階乘的增長太快，超過 170! 的數值會讓標準雙精度運算溢位，因此輸入上限設定為 170。