팩토리얼이란?
0 이상의 정수 n의 팩토리얼은 n!로 표기하며, 1부터 n까지의 모든 자연수를 곱한 값입니다. 팩토리얼은 수학 전반, 특히 경우의 수(조합론), 확률, 대수학, 미적분학에서 자주 등장하며, 항목을 배열하거나 순서를 정하는 방법의 가짓수를 세는 데 쓰입니다. 이 계산기는 0 이상의 어떤 정수든 n!을 즉시 계산해 줍니다.
계산기 사용 방법
입력란에 정수 n(0 이상)을 입력하면 n! 값이 바로 나옵니다. 팩토리얼은 값이 매우 빠르게 커지기 때문에, n이 작을 때는 정확한 정수로 표시되고 입력값이 커지면 일반적인 부동소수점 정밀도로 표시됩니다. 결과는 순식간에 엄청나게 커집니다. \(13!\)만 해도 이미 60억을 넘고, \(170!\)은 일반 double형이 표현할 수 있는 거의 최댓값에 가깝습니다.
공식 풀이
기본 공식은 다음과 같습니다.
$$\text{n}! = \prod_{i=1}^{\text{n}} i = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times \text{n}$$
중요한 특수 사례로 \(0! = 1\)이 있습니다. 아무 수도 곱하지 않은 경우(공곱, empty product)는 1로 정의되기 때문입니다. 이 약속 덕분에 조합 공식들이 일관성을 유지합니다. 예를 들어 0개의 대상을 배열하는 방법은 정확히 한 가지뿐입니다.
예제 풀이
5!을 구한다고 해 봅시다. 단계별로 곱해 보면 $$1 \times 2 = 2, \quad 2 \times 3 = 6, \quad 6 \times 4 = 24, \quad 24 \times 5 = 120$$이 됩니다. 따라서 \(5! = 120\)입니다. 이는 서로 다른 5개의 항목을 한 줄로 배열하는 방법이 120가지 있다는 뜻입니다.
자주 묻는 질문
왜 0!은 1인가요? 공곱(empty product) 규칙에 따른 것이며, 모든 값에 대해 순열·조합 공식이 일관되게 성립하도록 하기 위해서입니다.
음수나 소수의 팩토리얼도 계산할 수 있나요? 이 도구로는 불가능합니다. 일반적인 팩토리얼은 0 이상의 정수에 대해서만 정의됩니다. 감마 함수(gamma function)가 팩토리얼을 다른 수까지 일반화하지만, 이는 이 계산기의 범위를 벗어납니다.
왜 입력값에 최댓값이 있나요? 팩토리얼은 값이 너무 빠르게 커져서 \(170!\)을 넘어가면 일반적인 double 정밀도 연산의 한계를 초과(오버플로)하기 때문에 입력값을 170으로 제한합니다.
