Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет четыре связанные величины для значения x: факториал x!, двойной факториал x!!, а также натуральный логарифм каждого из них — ln(x!) и ln(x!!). Выберите нужную величину в списке «Функция», введите значение x и получите результат. Расчёт безразмерный, поэтому никаких единиц измерения и пересчётов здесь нет.
Как пользоваться
Выберите функцию (x!, ln(x!), x!! или ln(x!!)), введите число в поле Переменная x и нажмите «Рассчитать». Для целых чисел x! и x!! следуют классическим комбинаторным определениям. При этом движок принимает и вещественные (нецелые) значения: он использует гамма-функцию, так что, например, \(0{,}5! = \sqrt{\pi}/2\). Отрицательные целые числа — это полюсы гамма-функции, где факториал не определён.
Разбор формул
Факториал распространяется на вещественные числа через \(x! = \Gamma(x+1)\) — гамма-функцию. Двойной факториал перемножает значения через одно: для чётного n получаем \(n\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot 2\), а для нечётного n — \(n\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot 1\), с базовыми случаями \(0!! = 1\) и \((-1)!! = 1\). Единая замкнутая формула охватывает все вещественные x: $$x!! = 2^{\frac{x}{2}+\frac{1-\cos\pi x}{4}}\,\pi^{\frac{\cos\pi x - 1}{4}}\,\Gamma\!\left(\tfrac{x}{2}+1\right)$$ Для очень больших аргументов калькулятор работает в логарифмическом пространстве с логарифмом гамма-функции, поэтому переполнение исключено: \(\ln(x!) = \text{lgamma}(x+1)\).
Пример расчёта
Задайте Функция = x!! и x = 6. Двойной факториал шести равен $$6\cdot 4\cdot 2 = 48$$ Переключившись на ln(x!!), получим \(\ln(48) \approx 3{,}8712010109\). Аналогично при x = 5 для x! имеем $$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120$$ а ln(x!) для 5 равен \(\ln(120) \approx 4{,}7874917428\).
Частые вопросы
Зачем нужны логарифмические варианты? Факториалы растут чрезвычайно быстро и приводят к переполнению обычных чисел с плавающей точкой уже около \(x \approx 1{,}7\times 10^{308}\). Логарифмический вывод позволяет точно работать с астрономически большими аргументами.
Может ли x быть дробным? Да. Для нецелых x используется обобщение через гамма-функцию, которое даёт плавную интерполяцию между целыми значениями.
А отрицательные x? Отрицательные нецелые значения допустимы (через гамма-функцию), но отрицательные целые числа являются полюсами, где факториал и двойной факториал не определены.
