यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल ज्यामितीय बंटन (geometric distribution) का परसेंटाइल (क्वांटाइल) निकालता है: किसी संचयी प्रायिकता और प्रति-प्रयास सफलता प्रायिकता p के आधार पर यह मान x ज्ञात करता है। यहाँ ज्यामितीय बंटन पहली सफलता से पहले हुई असफलताओं की संख्या गिनता है, जो \(x = 0, 1, 2, 3, \ldots\) पर परिभाषित है। इसका प्रायिकता द्रव्यमान फलन (PMF) है $$f(x, p) = p(1 - p)^{x}.$$
दो संचयी परिपाटियाँ
आप किसी भी पुच्छ (tail) से काम कर सकते हैं। निचली संचयी \(P(x, p) = 1 - (1 - p)^{x+1}\) अधिक-से-अधिक x असफलताओं की प्रायिकता है। ऊपरी संचयी \(Q(x, p) = (1 - p)^{x}\) कम-से-कम x असफलताओं की प्रायिकता है। उपयुक्त मोड चुनें और फिर वही प्रायिकता दर्ज करें।
सूत्र की व्याख्या
मान लीजिए \(q = 1 - p\)। निचली CDF को उलटने पर: \(1 - q^{x+1} = P\) से $$x = \frac{\ln(1 - P)}{\ln(q)} - 1$$ मिलता है। ऊपरी CDF को उलटने पर: \(q^{x} = Q\) से $$x = \frac{\ln(Q)}{\ln(q)}$$ मिलता है। चूँकि x असफलताओं की पूर्णांक संख्या होनी चाहिए, इसलिए रिपोर्ट किया गया परसेंटाइल बिंदु \(\lceil x \rceil\) है, जिसे कम-से-कम 0 तक सीमित (clamp) किया जाता है। परिशुद्धता वाले कार्यों के लिए सतत (वास्तविक-मान) हल भी दिखाया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
निचला मोड, \(P = 0.8\), \(p = 0.4\)। तब \(q = 0.6\), \(\ln(0.6) = -0.5108256\)। $$x = \frac{\ln(0.2)}{\ln(0.6)} - 1 = \frac{-1.6094379}{-0.5108256} - 1 = 3.151035 - 1 = 2.151035.$$ ऊपर की ओर पूर्णांकित करने पर पूर्णांक परसेंटाइल \(x = 3\) मिलता है। जाँच: \(P(3) = 1 - 0.6^{4} = 0.8704 \ge 0.8\), जबकि \(P(2) = 0.784 < 0.8\), जो \(x = 3\) की पुष्टि करता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
ceil से परसेंटाइल क्यों मिलता है? पूर्णांक क्वांटाइल वह सबसे छोटा x होता है जिसकी संचयी प्रायिकता लक्ष्य तक पहुँचती है, इसलिए हम सतत हल को ऊपर की ओर पूर्णांकित करते हैं।
यदि p = 0 या p = 1 हो तो? \(p = 0\) पर सफलता कभी नहीं होती, इसलिए क्वांटाइल अपरिभाषित/अनंत होता है। \(p = 1\) पर सारा द्रव्यमान \(x = 0\) पर रहता है, इसलिए क्वांटाइल 0 होता है।
क्या P ठीक 1 हो सकता है? निचले मोड में कोई परिमित x, \(P = 1\) तक नहीं पहुँचता (CDF केवल 1 के निकट पहुँचता है), इसलिए ऐसे इनपुट को अपरिभाषित बताया जाता है।
