这个计算器有什么用
本工具用于计算柯西分布（也称洛伦兹分布，Lorentz distribution）的百分位数（又叫分位数或百分点）。只要给定一个累积概率，以及该分布的两个参数——位置参数 \(x_0\)（即中位数和峰值所在位置）与尺度参数 \(\gamma\)（gamma，即半高半宽），就能返回达到该概率时对应的取值 \(x\)。这是纯粹的数学计算，在任何地区结果都完全一致。
使用方法
首先选择累积模式。如果你的概率 P 是左尾概率，即 \(P = \operatorname{Prob}(X \le x)\)，请选择 下侧（Lower）；如果你的概率 Q 是右尾概率，即 \(Q = \operatorname{Prob}(X \ge x)\)，请选择 上侧（Upper）。接着输入概率值，它必须是严格介于 0 与 1 之间的小数（例如第 95 百分位数对应 0.95），再填入位置参数 \(x_0\) 以及尺度参数 \(\gamma\)（必须为正数）。计算器随即给出对应的 \(x\)。
公式解析
柯西分布的累积分布函数为 $$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\cdot\arctan\!\left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right).$$ 对其求反函数即可得到分位数函数 $$x = x_0 + \gamma\cdot\tan\!\left(\pi\left(P - \tfrac{1}{2}\right)\right),$$ 其中 \(P\) 为下侧累积概率。如果你输入的是上侧概率 \(Q\)，工具会先用 \(P = 1 - Q\) 进行换算。当 \(P = 0.5\) 时，结果恰好等于 \(x_0\)；而当 \(P\) 趋近于 0 或 1 时，结果会发散到负无穷或正无穷，这正体现了柯西分布著名的厚尾特性（它既没有有限的均值，也没有有限的方差）。
实例演示
当 \(x_0 = 0\)、\(\gamma = 1\) 时，求下侧第 95 百分位数：\(P = 0.95\)，于是 $$x = 0 + 1\cdot\tan(\pi\cdot 0.45) = \tan(1.41372\ \text{弧度}) \approx 6.31375.$$ 验证一下：$$F(6.31375) = 0.5 + \frac{1}{\pi}\cdot\arctan(6.31375) = 0.5 + 0.45 = 0.95,$$ 完全吻合。再看 \(x_0 = 2\)、\(\gamma = 3\)、\(P = 0.75\) 的情形：$$x = 2 + 3\cdot\tan(\pi\cdot 0.25) = 2 + 3\cdot 1 = 5.0.$$
常见问题
下侧模式和上侧模式有什么区别？两者是互补关系：上侧概率 0.05 与下侧概率 0.95 算出来的 \(x\) 完全相同。
为什么概率必须严格介于 0 和 1 之间？因为在恰好等于 0 或 1 时，分位数会变成正负无穷，没有有限的数值。
尺度参数可以是负数吗？不可以。尺度参数 \(\gamma\) 必须大于 0，它表示一个半宽度，取负值在数学上没有定义。
