什么是柯西分布？
柯西分布又称洛伦兹分布，是一种连续概率分布，由位置参数 a（即中位数与峰值所在位置）和尺度参数 b > 0（即半高半宽）共同确定。它最著名的特征是“重尾”：既没有有限的均值，也没有有限的方差。本计算器会在一连串 x 值上对该分布求值，帮助你生成一份可直接用于绘图的 (x, 数值) 数据表。
如何使用本计算器
先选择要计算的函数：概率密度 f、下侧累积概率 P 或上侧累积概率 Q。再输入位置参数 a 和尺度参数 b（必须为正数）。然后通过初始值、步长增量和点数来定义 x 序列。第 k 个 x 的计算公式为 x_k = xInitial + k * xStep（k 从 0 到 count-1）。默认设置会让 x 从 -5 到 +5、以 0.1 为步长扫描（共 101 个点）。
计算公式
令 \(z = (x - a) / b\)。概率密度为 $$f = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{b}{(x-a)^2 + b^2}$$ 等价于 \(\frac{1}{\pi b (1 + z^2)}\)。下侧累积分布为 $$P = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(z)$$ 上侧（生存）函数为 $$Q = 1 - P = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\arctan(z)$$ 由于 \(\arctan\) 的取值始终落在 \((-\pi/2, \pi/2)\) 之间，因此 P 和 Q 都严格介于 0 与 1 之间。
计算示例
取 \(a = 0\)、\(b = 0.7\)，求 \(x = 1\) 处的密度：\((x-a)^2 + b^2 = 1 + 0.49 = 1.49\)，于是 \(f = \frac{1}{\pi}\left(\frac{0.7}{1.49}\right) \approx 0.14954\)。在同一点上求下侧累积概率，\(\arctan(1/0.7) = 0.96007\)，故 \(P = 0.5 + \frac{0.96007}{\pi} \approx 0.80559\)，而 \(Q = 1 - 0.80559 = 0.19441\)。在峰值处 \(x = a\) 时，\(f = \frac{1}{\pi b}\)，且 \(P = Q = 0.5\)。
常见问题
为什么 b 必须为正？ 若尺度参数取非正值，密度和累积分布函数将无法定义（宽度为零或为负），因此本计算器会把 b 限制为一个极小的正数。
为什么没有显示均值？ 由于柯西分布具有重尾特性，其均值和方差均无定义；本工具只给出逐点的密度值与尾部概率。
“数值”这一列代表什么？ 它是所选函数（f、P 或 Q）在每个 x 处的取值，可直接以 x 为横轴进行绘图。
