Phân phối Cauchy là gì?
Phân phối Cauchy, còn được gọi là phân phối Lorentz, là một phân phối xác suất liên tục được xác định bởi tham số vị trí a (trung vị và vị trí đỉnh) cùng tham số tỷ lệ b > 0 (nửa độ rộng tại nửa giá trị cực đại). Nó nổi tiếng nhờ phần đuôi nặng: phân phối này không có giá trị kỳ vọng hữu hạn và cũng không có phương sai hữu hạn. Công cụ này tính giá trị của phân phối trên một dãy giá trị x, giúp bạn lập bảng các cặp (x, giá trị) sẵn sàng để vẽ đồ thị.
Cách sử dụng máy tính
Hãy chọn một hàm: mật độ xác suất f, xác suất tích lũy dưới P, hoặc xác suất tích lũy trên Q. Nhập tham số vị trí a và tham số tỷ lệ b (phải dương). Sau đó xác định dãy x bằng giá trị ban đầu, bước nhảy và số lượng điểm. Giá trị x thứ k được tính theo công thức x_k = xInitial + k * xStep với k chạy từ 0 đến count-1. Giá trị mặc định quét x từ -5 đến +5 với bước 0,1 (101 điểm).
Các công thức
Đặt \(z = (x - a) / b\). Mật độ là $$f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\text{Scale } b}{\left(x - \text{Location } a\right)^2 + \text{Scale } b^2}$$ hay tương đương \(\frac{1}{\pi b (1 + z^2)}\). Hàm phân phối tích lũy dưới là $$P(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - \text{Location } a}{\text{Scale } b}\right)$$ còn hàm tích lũy trên (hàm sống sót) là $$Q(x) = 1 - P = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - \text{Location } a}{\text{Scale } b}\right)$$ Vì arctan luôn nằm trong khoảng \((-\pi/2, \pi/2)\), nên cả P và Q đều nằm chặt chẽ giữa 0 và 1.
Ví dụ minh họa
Với \(a = 0\), \(b = 0{,}7\), ta tính mật độ tại \(x = 1\): \((x-a)^2 + b^2 = 1 + 0{,}49 = 1{,}49\), do đó $$f = \frac{1}{\pi}\left(\frac{0{,}7}{1{,}49}\right) \approx 0{,}14954$$ Với xác suất tích lũy dưới tại cùng điểm này, \(\arctan(1/0{,}7) = 0{,}96007\), nên \(P = 0{,}5 + 0{,}96007/\pi \approx 0{,}80559\), và \(Q = 1 - 0{,}80559 = 0{,}19441\). Tại đỉnh \(x = a\), ta có \(f = \frac{1}{\pi b}\) và \(P = Q = 0{,}5\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao b phải dương? Nếu tỷ lệ không dương thì mật độ và CDF trở nên không xác định (độ rộng bằng 0 hoặc âm), vì vậy máy tính sẽ ép b về một giá trị dương rất nhỏ.
Vì sao không hiển thị giá trị trung bình? Phân phối Cauchy có kỳ vọng và phương sai không xác định do phần đuôi nặng; công cụ này chỉ báo cáo mật độ tại từng điểm và xác suất phần đuôi.
Cột "giá trị" là gì? Đó là hàm bạn đã chọn (f, P hoặc Q) được tính tại mỗi giá trị x, sẵn sàng để vẽ đồ thị với x nằm trên trục hoành.
