ما هي الدالة dn(u, k)؟
تُعدّ دالة جاكوبي الإهليلجية dn(u, k)، المعروفة باسم "سعة الفرق" (delta amplitude)، واحدة من الدوال الإهليلجية الثلاث الأساسية لجاكوبي إلى جانب الدالتين sn وcn. وهذه الدوال تُعمّم الدوال المثلثية المألوفة، وتظهر بكثرة في الفيزياء والهندسة، مثل: الدور الدقيق للبندول، والحلول الانفرادية (الـ solitons) لمعادلات الموجات غير الخطية، وحركة الجسم الصلب (معادلات أويلر)، وتصميم المرشحات الإهليلجية. تتيح لك هذه الحاسبة حساب قيمة dn لأي وسيط حقيقي u ومعامل k يقع ضمن المجال من -1 إلى 1.
كيفية الاستخدام
أدخل الوسيط u (أي عدد حقيقي) والمعامل k بحيث يكون \(-1 \le k \le 1\). وبما أنّ الدالة dn تعتمد على \(k^2\) فقط، فإنّ إشارة k لا تؤثّر في النتيجة. اضغط على زرّ الحساب للحصول على قيمة dn(u, k). وداخليًا تضبط الحاسبة الوسيط \(m = k^2\).
شرح المعادلة
لِنفترض أنّ \(\phi = \operatorname{am}(u, m)\) هي السعة (amplitude)، وهي مُعرّفة ضمنيًا عبر التكامل الإهليلجي الناقص من النوع الأول \(F(\phi \mid m) = u\). عندئذٍ يكون \(\operatorname{sn} = \sin(\phi)\)، وcn \(= \cos(\phi)\)، و $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\phi}.$$ نحسب am(u, m) عدديًا باستخدام تحويل لاندن التنازلي / المتوسط الحسابي الهندسي (وهو الإجراء الكلاسيكي "sncndn" من مرجع Numerical Recipes)، الذي يتقارب بسرعة تربيعية ويعطي دقة عالية في كامل المجال.
مثال محلول
لِنأخذ \(u = 4\) و\(k = 0.7\)، أي \(m = 0.49\). تكون السعة \(\operatorname{am}(4, 0.49) \approx 3.4179\) راديان، ومنها \(\operatorname{sn}(4, 0.7) \approx -0.27156\). ومن ثَمّ $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.49 \times (-0.27156)^{2}} = \sqrt{1 - 0.036131} = \sqrt{0.963869} \approx \mathbf{0.981768}.$$
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عندما \(k = 0\)؟ تكون \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\) لكلّ قيمة من قيم u، لأنّ حدّ المعامل يتلاشى ويصبح \(\operatorname{am}(u, 0) = u\).
وماذا عن \(k = 1\)؟ تكون \(\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = \dfrac{1}{\cosh(u)}\)؛ فعلى سبيل المثال \(\operatorname{dn}(4, 1) \approx 0.036644\).
ما مدى قيم الدالة dn؟ عندما يكون \(|k| < 1\)، تكون dn موجبة دائمًا، وتتذبذب بين قيمتها الصغرى \(k' = \sqrt{1 - k^{2}}\) وقيمتها العظمى 1 عند \(u = 0\) (بالقياس إلى 2K)، حيث K هو التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول.
