ما هي دالة جاكوبي nd؟
تُعمّم دوال جاكوبي الإهليلجية sn وcn وdn الدوال المثلثية المعتادة، وتنشأ من عكس التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الأول. أما الدالة nd(u, k) فهي ببساطة مقلوب دالة سعة الدلتا: \(\operatorname{nd}(u, k) = 1 / \operatorname{dn}(u, k)\). وتعتمد على وسيط حقيقي u ومعامل الإهليلجية k (لاحظ أن هذا هو المعامل modulus، وليس البارامتر \(m = k^{2}\) ولا الزاوية المعيارية).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الوسيط u (أي عدد حقيقي) والمعامل k (وغالبًا ما يكون \(0 \le k \le 1\)). تُرجع الحاسبة قيمة nd(u, k) بدقة تبلغ نحو عشرة أرقام معنوية، إلى جانب القيم الوسيطة dn(u, k) وsn(u, k).
شرح الصيغة
بوضع \(m = k^{2}\)، تكون السعة \(\varphi = \operatorname{am}(u, k)\)، وتكون $$\operatorname{dn}(u, k) = \sqrt{1 - m\cdot\operatorname{sn}^{2}(u, k)}.$$ نحسب sn باستخدام المتوسط الحسابي الهندسي (AGM) وتحويل لاندن النازل: نبني المتتاليات a وb وc بحيث \(a_{0}=1\)، \(b_{0}=\sqrt{1-m}\)، \(c_{0}=k\)، ثم نكرّر خطوات AGM إلى أن تصبح c مهملة، وبعدها ننزل بالزاوية \(\varphi = 2^{N}\cdot a_{N}\cdot u\) تنازليًا. وأخيرًا \(\operatorname{nd} = 1 / \operatorname{dn}\).
مثال محلول
عند \(u = 0.5\) و \(k = 0.5\) (أي \(m = 0.25\)): تكون \(\operatorname{sn} \approx 0.479262\)، ومن ثَمّ $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.25\cdot 0.479262^{2}} \approx 0.970864,$$ فتكون \(\operatorname{nd} = 1 / 0.970864 \approx 1.0300\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عند k = 0؟ تكون \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\) لكل قيمة من u، ومن ثَمّ \(\operatorname{nd}(u, 0) = 1\) بالضبط.
وماذا عن k = 1؟ تكون \(\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = 1/\cosh(u)\)، ومن ثَمّ \(\operatorname{nd}(u, 1) = \cosh(u)\).
هل تكون nd غير معرّفة في أي حالة؟ عندما \(0 \le k < 1\)، تكون dn محدودة من الأسفل بالقيمة \(\sqrt{1 - k^{2}} > 0\)، ولذلك تظل nd منتهية دائمًا. ولا تقترب dn من الصفر إلا عند \(k = 1\) (عندما \(u \rarr \pm\infty\))، حيث تنمو nd بلا حدود.
