Hàm Jacobi nd là gì?
Các hàm elliptic Jacobi sn, cn và dn là sự mở rộng của các hàm lượng giác thông thường, phát sinh từ việc lấy nghịch đảo của tích phân elliptic loại một chưa hoàn chỉnh. Hàm nd(u, k) đơn giản là nghịch đảo của hàm delta-amplitude: \(\operatorname{nd}(u,k) = 1 / \operatorname{dn}(u,k)\). Nó phụ thuộc vào đối số thực u và mô-đun elliptic k (lưu ý đây là mô-đun, không phải tham số \(m = k^{2}\) và cũng không phải góc mô-đun).
Cách sử dụng máy tính
Nhập đối số u (số thực bất kỳ) và mô-đun k (thường nằm trong khoảng \(0 \le k \le 1\)). Máy tính sẽ trả về giá trị nd(u, k) với độ chính xác khoảng mười chữ số có nghĩa, kèm theo các giá trị trung gian dn(u, k) và sn(u, k).
Giải thích công thức
Đặt \(m = k^{2}\), ta có biên độ \(\phi = \operatorname{am}(u, k)\) và $$\operatorname{dn}(u,k) = \sqrt{1 - m\cdot\operatorname{sn}^{2}(u, k)}.$$ Chúng ta tính sn bằng trung bình cộng-nhân (AGM) cùng phép biến đổi Landen giảm dần: xây dựng các dãy a, b, c với \(a_{0}=1\), \(b_{0}=\sqrt{1-m}\), \(c_{0}=k\), lặp AGM cho đến khi c trở nên không đáng kể, rồi giảm dần góc \(\phi = 2^{N}\cdot a_{N}\cdot u\) trở lại. Cuối cùng \(\operatorname{nd} = 1 / \operatorname{dn}\).
Ví dụ minh họa
Với \(u = 0.5\) và \(k = 0.5\) (\(m = 0.25\)): \(\operatorname{sn} \approx 0.479262\), nên $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.25\cdot 0.479262^{2}} \approx 0.970864$$ và \(\operatorname{nd} = 1 / 0.970864 \approx 1.0300\).
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra khi k = 0? \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\) với mọi u, nên \(\operatorname{nd}(u, 0) = 1\) chính xác.
Còn khi k = 1 thì sao? \(\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = 1/\cosh(u)\), nên \(\operatorname{nd}(u, 1) = \cosh(u)\).
nd có khi nào không xác định không? Với \(0 \le k < 1\), dn luôn bị chặn dưới bởi \(\sqrt{1 - k^{2}} > 0\), do đó nd luôn hữu hạn. Chỉ khi \(k = 1\) thì dn mới tiến về 0 (khi \(u \to \pm\infty\)), lúc đó nd tăng vô hạn.
