什么是雅可比 nd 函数？
雅可比椭圆函数 sn、cn 和 dn 是普通三角函数的推广，由对第一类不完全椭圆积分求逆得到。函数 nd(u, k) 就是 delta 幅度函数（dn）的倒数：\(\operatorname{nd}(u,k) = \dfrac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}\)。它依赖于实数自变量 u 和椭圆模 k（请注意，这里用的是模 k，而不是参数 \(m = k^{2}\)，也不是模角）。
如何使用本计算器
输入自变量 u（任意实数）和模 k（通常满足 \(0 \le k \le 1\)）。计算器会返回精确到约十位有效数字的 nd(u, k)，并同时给出中间结果 dn(u, k) 和 sn(u, k)。
公式详解
令 \(m = k^{2}\)，幅度为 \(\phi = \operatorname{am}(u, k)\)，则 $$\operatorname{dn}(u,k) = \sqrt{1 - m\cdot\operatorname{sn}^{2}(u, k)}$$ 我们借助算术几何平均（AGM）和下降朗登变换来求 sn：构造序列 a、b、c，初值取 \(a_{0}=1\)、\(b_{0}=\sqrt{1-m}\)、\(c_{0}=k\)，迭代 AGM 直到 c 可忽略不计，再将角度 \(\phi = 2^{N}\cdot a_{N}\cdot u\) 逐级降回。最后得到 $$\operatorname{nd} = \frac{1}{\operatorname{dn}}$$
计算实例
取 \(u = 0.5\)、\(k = 0.5\)（即 \(m = 0.25\)）：\(\operatorname{sn} \approx 0.479262\)，于是 $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.25\cdot 0.479262^{2}} \approx 0.970864$$ $$\operatorname{nd} = \frac{1}{0.970864} \approx 1.0300$$
常见问题
当 k = 0 时会怎样？对任意 u 都有 \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\)，因此 \(\operatorname{nd}(u, 0)\) 恒等于 1。
当 k = 1 时呢？此时 \(\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = \dfrac{1}{\cosh(u)}\)，所以 \(\operatorname{nd}(u, 1) = \cosh(u)\)。
nd 会出现无定义的情况吗？当 \(0 \le k < 1\) 时，dn 的下界为 \(\sqrt{1 - k^{2}} > 0\)，所以 nd 始终为有限值。只有在 k = 1 时，dn 才会趋于 0（当 \(u \to \pm\infty\)），此时 nd 会无限增大。
