वर्ग पूर्ण करना क्या है?
वर्ग पूर्ण करने की विधि में एक द्विघात व्यंजक \(ax^2 + bx + c\) को उसके समतुल्य शीर्ष रूप \(a(x - h)^2 + k\) में बदला जाता है। यह रूप परवलय (parabola) के शीर्ष को सीधे बिंदु \((h, k)\) पर दिखा देता है, जिससे ग्राफ बनाना, अधिकतम या न्यूनतम मान निकालना और द्विघात समीकरण हल करना बेहद आसान हो जाता है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
तीनों गुणांक भरें: a (x² का गुणांक), b (x का गुणांक) और c (अचर पद)। कैलकुलेटर आपको वर्ग पूर्ण किया गया रूप तथा h, k और शीर्ष के निर्देशांक लौटा देगा। ध्यान रहे कि a का मान शून्य नहीं हो सकता, वरना व्यंजक द्विघात ही नहीं रहेगा।
सूत्र की व्याख्या
\(ax^2 + bx + c\) से शुरू करते हुए, पहले दो पदों में से a को बाहर निकालें और वर्ग पद को जोड़ें-घटाएँ। परिणाम आता है $$ax^2 + bx + c = a\left(x - h\right)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}$$ जहाँ \(h = -\dfrac{b}{2a}\) और \(k = c - \dfrac{b^2}{4a}\) होते हैं। यहाँ h परवलय को क्षैतिज दिशा में और k उसे ऊर्ध्वाधर दिशा में खिसकाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(x^2 + 6x + 5\) लीजिए: यहाँ \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 5\)। तब $$h = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$$ और $$k = 5 - \frac{36}{4 \cdot 1} = 5 - 9 = -4$$ इसलिए $$x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4$$ और शीर्ष \((-3, -4)\) पर है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
शीर्ष (h, k) क्यों होता है? क्योंकि \(a(x - h)^2\) हमेशा \(\geq 0\) रहता है (और a ऋणात्मक होने पर \(\leq 0\)), इसलिए व्यंजक अपना चरम मान k ठीक उसी समय प्राप्त करता है जब \(x = h\) होता है।
क्या इससे समीकरण हल हो जाता है? \(a(x - h)^2 + k = 0\) रखकर x के लिए हल करने पर मूल मिल जाते हैं — यही कारण है कि वर्ग पूर्ण करना द्विघात सूत्र (quadratic formula) का आधार है।
अगर a ऋणात्मक हो तो? तब परवलय नीचे की ओर खुलता है और शीर्ष अधिकतम मान दर्शाता है, पर वही सूत्र लागू होते हैं।
