ما المقصود بإكمال المربع؟
إكمال المربع هو طريقة لإعادة كتابة العبارة التربيعية \(ax^2 + bx + c\) في صيغة مكافئة تُعرف بصيغة الرأس \(a(x - h)^2 + k\). تكشف هذه الصيغة على الفور عن رأس القطع المكافئ عند النقطة \((h, k)\)، مما يسهّل رسم المنحنى، وإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى، وحل المعادلات التربيعية.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل المعاملات الثلاثة: \(a\) (معامل \(x^2\))، و\(b\) (معامل \(x\))، و\(c\) (الحد الثابت). تعرض الحاسبة صيغة إكمال المربع إلى جانب قيمتَي \(h\) و\(k\) وإحداثيات الرأس. لاحظ أن قيمة \(a\) لا يمكن أن تساوي صفرًا، وإلا فلن تكون العبارة تربيعية.
شرح الصيغة
انطلاقًا من \(ax^2 + bx + c\)، نُخرج المعامل \(a\) من أول حدين، ثم نضيف ونطرح حد المربع. والنتيجة هي $$ax^2 + bx + c = a\left(x - h\right)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}$$ حيث \(h = -\dfrac{b}{2a}\) و\(k = c - \dfrac{b^2}{4a}\). تُزيح قيمة \(h\) القطع المكافئ أفقيًا، بينما تُزيحه قيمة \(k\) رأسيًا.
مثال محلول
لنأخذ \(x^2 + 6x + 5\)، حيث \(a = 1\)، \(b = 6\)، \(c = 5\). إذًا $$h = -\frac{6}{2\cdot 1} = -3,\quad k = 5 - \frac{36}{4\cdot 1} = 5 - 9 = -4$$ ومن ثمّ فإن \(x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4\)، ويقع الرأس عند النقطة \((-3, -4)\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يكون الرأس عند \((h, k)\)؟ لأن الحد \(a(x - h)^2\) يكون دائمًا \(\geq 0\) (أو \(\leq 0\) إذا كانت \(a\) سالبة)، فتصل العبارة إلى قيمتها الحدّية \(k\) تمامًا عندما يكون \(x = h\).
هل تحل هذه الطريقة المعادلة؟ نعم؛ بوضع \(a(x - h)^2 + k = 0\) وحلّ المعادلة بالنسبة إلى \(x\) نحصل على الجذور، ولهذا يُعدّ إكمال المربع الأساس الذي تُشتق منه القانون العام للمعادلة التربيعية.
ماذا لو كانت \(a\) سالبة؟ عندئذٍ يفتح القطع المكافئ نحو الأسفل ويكون الرأس قيمة عظمى، لكن الصيغ نفسها تبقى سارية.
