Что такое выделение полного квадрата?
Выделение полного квадрата — это преобразование квадратного трёхчлена ax² + bx + c к равносильной вершинной форме a(x − h)² + k. Такая запись сразу показывает вершину параболы в точке (h, k): по ней легко построить график, найти наибольшее или наименьшее значение функции и решить квадратное уравнение.
Как пользоваться калькулятором
Введите три коэффициента: a (коэффициент при x²), b (коэффициент при x) и c (свободный член). Калькулятор выдаст форму с выделенным полным квадратом, а также значения h, k и координаты вершины. Учтите, что коэффициент a не может быть равен нулю — иначе выражение перестаёт быть квадратным.
Разбор формулы
Из выражения \(ax^2 + bx + c\) выносим a за скобки в первых двух слагаемых и добавляем (а затем вычитаем) нужное слагаемое до полного квадрата. В итоге получаем $$ax^2 + bx + c = a\left(x - h\right)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}$$ где \(h = -\frac{b}{2a}\) и \(k = c - \frac{b^2}{4a}\). Величина h сдвигает параболу по горизонтали, а k — по вертикали.
Пример с решением
Возьмём \(x^2 + 6x + 5\): здесь \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 5\). Тогда $$h = -\frac{6}{2\cdot 1} = -3$$ и $$k = 5 - \frac{36}{4\cdot 1} = 5 - 9 = -4$$ Значит, \(x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4\), а вершина параболы находится в точке (−3, −4).
Частые вопросы
Почему вершина имеет координаты (h, k)? Поскольку \(a(x - h)^2 \geq 0\) (или ≤ 0, если a отрицательно), выражение достигает своего крайнего значения k именно при \(x = h\).
Помогает ли это решить уравнение? Если приравнять \(a(x - h)^2 + k\) к нулю и выразить x, мы получим корни уравнения. Именно на выделении полного квадрата основан вывод формулы корней квадратного уравнения.
А если a отрицательно? Тогда ветви параболы направлены вниз, и вершина становится точкой максимума, но все формулы остаются прежними.
