配方法计算器

输入计算

a（x² 的系数）

b（x 的系数）

c（常数项）

结果

顶点式（配方形式）

1(x − -3)² + -4

a(x − h)² + k

h（水平平移量）	-3
k（垂直平移量）	-4
顶点坐标 (h, k)	(-3, -4)

什么是配方法？

配方法是把二次式 \(ax^2 + bx + c\) 改写成等价的顶点式 \(a(x - h)^2 + k\) 的方法。这种形式可以直接看出抛物线的顶点坐标为 \((h, k)\)，从而轻松画出图像、求出最大值或最小值，并求解二次方程。

配方法揭示了抛物线的顶点 \((h, k)\)。

如何使用本计算器

依次输入三个系数：a（x² 的系数）、b（x 的系数）和 c（常数项）。计算器会给出配方后的顶点式，以及 h、k 和顶点坐标。注意 a 不能为零，否则该式就不再是二次式。

公式详解

从 \(ax^2 + bx + c\) 出发，先把前两项中的 a 提取出来，再加上并减去相应的平方项，即可凑成完全平方。最终得到 \(a(x - h)^2 + k\)，其中 \(h = -\dfrac{b}{2a}\)，\(k = c - \dfrac{b^2}{4a}\)。h 控制抛物线的左右平移，k 控制上下平移。

$$ax^2 + bx + c = a\left(x - h\right)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}$$

几何意义：拼成一个完整的正方形后，会剩下一个需要加上的小常数 \((k)\)。

例题演示

以 \(x^2 + 6x + 5\) 为例：\(a = 1\)，\(b = 6\)，\(c = 5\)。则 $$h = -\frac{6}{2\cdot 1} = -3$$ $$k = 5 - \frac{36}{4\cdot 1} = 5 - 9 = -4$$ 所以 \(x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4\)，顶点坐标为 \((-3, -4)\)。

常见问题

为什么顶点是 \((h, k)\)？ 因为 \(a(x - h)^2\) 始终 \(\geq 0\)（当 a 为负时则 \(\leq 0\)），所以当 \(x = h\) 时，整个式子恰好取得极值 k。

配方法能解方程吗？ 令 \(a(x - h)^2 + k = 0\) 并解出 x，即可得到方程的根。因此配方法正是二次求根公式的推导基础。

如果 a 是负数怎么办？ 此时抛物线开口向下，顶点为最大值点，但上述公式依然适用。