완전제곱식이란?
완전제곱식 변환은 이차식 \(ax^2 + bx + c\)를 동일한 값을 갖는 꼭짓점 형태 \(a(x - h)^2 + k\)로 다시 쓰는 과정입니다. 이 형태로 바꾸면 포물선의 꼭짓점이 \((h, k)\)임을 한눈에 알 수 있어, 그래프를 그리거나 최댓값·최솟값을 구하고 이차방정식을 푸는 일이 훨씬 쉬워집니다.
계산기 사용법
세 개의 계수를 입력하세요. a는 x²의 계수, b는 x의 계수, c는 상수항입니다. 입력하면 완전제곱식 형태와 함께 \(h\), \(k\), 그리고 꼭짓점 좌표가 출력됩니다. 단, a는 0이 될 수 없습니다. a가 0이면 더 이상 이차식이 아니기 때문입니다.
공식 풀이
\(ax^2 + bx + c\)에서 시작해 앞의 두 항에서 a를 묶어내고, 완전제곱이 되도록 항을 더하고 빼줍니다. 그 결과는 \(a(x - h)^2 + k\) 형태이며, 이때 다음과 같습니다.
$$ax^2 + bx + c = a\left(x - h\right)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}$$h는 포물선을 좌우로 평행이동시키고, k는 위아래로 평행이동시키는 값입니다.
예제 풀이
\(x^2 + 6x + 5\)의 경우 \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 5\)입니다. 따라서 다음과 같이 계산됩니다.
$$h = -\frac{6}{2\cdot 1} = -3,\quad k = 5 - \frac{36}{4\cdot 1} = 5 - 9 = -4$$즉 \(x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4\)이며, 꼭짓점은 \((-3, -4)\)입니다.
자주 묻는 질문
왜 꼭짓점이 \((h, k)\)인가요? \(a(x - h)^2\)은 항상 0 이상(a가 음수이면 0 이하)이므로, \(x = h\)일 때 식이 정확히 극값 \(k\)에 도달하기 때문입니다.
이 계산기로 방정식도 풀 수 있나요? \(a(x - h)^2 + k = 0\)으로 놓고 x에 대해 풀면 근을 구할 수 있습니다. 완전제곱식 변환은 사실상 근의 공식이 만들어지는 기초가 됩니다.
a가 음수이면 어떻게 되나요? 포물선이 아래로 볼록해지고 꼭짓점은 최댓값이 됩니다. 하지만 사용하는 공식은 동일합니다.
