ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تحلّل هذه الأداة أي دالة تربيعية مكتوبة بالصيغة القياسية \(f(x) = ax^2 + bx + c\). فمن خلال إكمال المربع يمكن إعادة كتابة أي دالة تربيعية بالشكل \(f(x) = a(x - h)^2 + k\)، حيث تمثّل النقطة \((h, k)\) رأس القطع المكافئ. تحدّد الحاسبة هذا الرأس وتخبرك بما إذا كان قيمة صغرى أم قيمة عظمى.
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة \(a\) و\(b\) و\(c\). يجب ألّا يساوي المعامل \(a\) صفرًا (وإلا أصبح التعبير خطيًا لا تربيعيًا). اضغط على زر الحساب لتظهر لك قيمة \(x\) لرأس القطع، والقيمة الحدية، وما إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا للأعلى (قيمة صغرى) أم للأسفل (قيمة عظمى).
شرح القانون
إحداثي \(x\) لرأس القطع هو $$x^* = -\frac{b}{2a}.$$ وبتعويض هذه القيمة في الدالة نحصل على القيمة الحدية $$k = c - \frac{b^2}{4a}.$$ فعندما يكون \(a > 0\) ينفتح القطع المكافئ للأعلى، وتكون هذه النقطة قيمة صغرى. أما عندما يكون \(a < 0\) فينفتح للأسفل، وتصبح النقطة قيمة عظمى.
مثال محلول
لنأخذ \(f(x) = x^2 - 4x + 3\)، أي أنّ \(a = 1\) و\(b = -4\) و\(c = 3\). عندئذٍ يكون إحداثي \(x\) للرأس هو $$\frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2.$$ والقيمة الحدية تساوي $$3 - \frac{(-4)^2}{4 \times 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ وبما أنّ \(a > 0\)، فهذه قيمة صغرى عند النقطة \((2,\ -1)\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان \(a = 0\)؟ عندئذٍ تصبح الدالة خطية ولا يوجد لها رأس، وتنبّهك الحاسبة إلى هذه الحالة.
هل القيمة الحدية هي إحداثي \(y\) لرأس القطع؟ نعم. فرأس القطع هو النقطة \((x^*,\ \text{القيمة الحدية})\).
ما علاقة ذلك بإكمال المربع؟ إكمال المربع يعيد كتابة \(ax^2 + bx + c\) على الصورة \(a(x - h)^2 + k\)، حيث \(h = x^*\) و\(k = \text{القيمة الحدية}\).
