À quoi sert ce calculateur
Cet outil analyse n'importe quelle fonction du second degré écrite sous sa forme développée, \(f(x) = ax^{2} + bx + c\). Grâce à la mise sous forme canonique, toute fonction de ce type peut se réécrire \(f(x) = a(x - h)^{2} + k\), où \((h, k)\) est le sommet de la parabole. Le calculateur détermine ce sommet et vous indique s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coefficients \(a\), \(b\) et \(c\). Le coefficient \(a\) ne doit pas être nul (sinon l'expression est affine, et non du second degré). Cliquez sur « Calculer » pour obtenir l'abscisse du sommet, la valeur extrême, et savoir si la parabole est tournée vers le haut (minimum) ou vers le bas (maximum).
La formule expliquée
L'abscisse du sommet vaut \(x^{*} = -\dfrac{b}{2a}\). En réinjectant cette valeur dans la fonction, on obtient la valeur extrême \(k = c - \dfrac{b^{2}}{4a}\). Lorsque \(a > 0\), la parabole est tournée vers le haut : ce point est donc un minimum. Lorsque \(a < 0\), elle est tournée vers le bas, et il s'agit d'un maximum.
$$f(x) = a\left(x - h\right)^{2} + k$$$$\text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= -\dfrac{b}{2a} \\ k &= c - \dfrac{b^{2}}{4a} \end{aligned} \right.$$
Exemple résolu
Prenons \(f(x) = x^{2} - 4x + 3\), soit \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). L'abscisse du sommet est $$-\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2.$$ La valeur extrême vaut $$3 - \frac{(-4)^{2}}{4 \times 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ Comme \(a > 0\), il s'agit d'un minimum atteint au point \((2, -1)\).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si \(a = 0\) ? La fonction est alors affine et n'a pas de sommet ; le calculateur signale ce cas.
La valeur extrême correspond-elle à l'ordonnée du sommet ? Oui. Le sommet est le point \((x^{*}, \text{valeur extrême})\).
Quel est le lien avec la forme canonique ? La mise sous forme canonique réécrit \(ax^{2} + bx + c\) sous la forme \(a(x - h)^{2} + k\), avec \(h = x^{*}\) et \(k = \) la valeur extrême.
