यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल मानक रूप \(f(x) = ax^2 + bx + c\) में लिखे किसी भी द्विघात फलन का विश्लेषण करता है। पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हर द्विघात को \(f(x) = a(x - h)^2 + k\) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जहाँ \((h, k)\) परवलय (parabola) का शीर्ष होता है। यह कैलकुलेटर वही शीर्ष ढूँढता है और बताता है कि वह न्यूनतम बिंदु है या अधिकतम।
इसका उपयोग कैसे करें
तीनों गुणांक \(a\), \(b\) और \(c\) दर्ज करें। गुणांक \(a\) शून्य नहीं होना चाहिए (वरना समीकरण द्विघात नहीं बल्कि रैखिक हो जाएगा)। 'गणना करें' दबाते ही आपको शीर्ष का x-निर्देशांक, चरम मान, और यह जानकारी मिलेगी कि परवलय ऊपर की ओर खुलता है (न्यूनतम) या नीचे की ओर (अधिकतम)।
सूत्र की व्याख्या
शीर्ष का x-निर्देशांक होता है $$x^{*} = -\frac{b}{2a}$$ इसे वापस फलन में रखने पर चरम मान मिलता है: $$k = c - \frac{b^{2}}{4a}$$ जब \(a > 0\) हो, तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए यह बिंदु न्यूनतम होता है। जब \(a < 0\) हो, तो यह नीचे की ओर खुलता है, जिससे यह अधिकतम बन जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), यानी \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\)। शीर्ष का x होगा $$-\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$ चरम मान होगा $$3 - \frac{(-4)^{2}}{4 \times 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$ चूँकि \(a > 0\) है, इसलिए यह बिंदु \((2, -1)\) पर एक न्यूनतम मान है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर \(a = 0\) हो तो क्या होगा? तब फलन रैखिक हो जाता है और उसका कोई शीर्ष नहीं होता; कैलकुलेटर इस स्थिति को दर्शा देता है।
क्या चरम मान ही शीर्ष का y-निर्देशांक होता है? हाँ। शीर्ष होता है \((x^{*}, \text{चरम मान})\)।
इसका पूर्ण वर्ग बनाने से क्या संबंध है? पूर्ण वर्ग बनाने की विधि \(ax^2 + bx + c\) को \(a(x - h)^2 + k\) के रूप में फिर से लिखती है, जहाँ \(h = x^{*}\) और \(k = \text{चरम मान}\) होता है।
