यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल सामान्य रूप में लिखे गए वृत्त, \(x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0\), को मानक रूप, \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) में बदल देता है। यह x और y दोनों पदों पर पूर्ण वर्ग बनाकर ऐसा करता है, और फिर वृत्त का केंद्र \((h, k)\) तथा त्रिज्या \(r\) बता देता है। बस तीन गुणांक D, E और F दर्ज करें और परिणाम तुरंत सामने आ जाएगा।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने समीकरण को \(x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0\) के रूप से मिलाएं। x के आगे का गुणांक D है, y के आगे का गुणांक E है, और अकेला अचर पद F है। यहाँ चिह्नों का ध्यान रखना ज़रूरी है: \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\) में \(\text{D} = -6\), \(\text{E} = 8\) और \(\text{F} = 9\) होगा। यदि आपके समीकरण में \(x^2\) और \(y^2\) पर भी गुणांक हों (जैसे \(2x^2 + 2y^2 + \ldots\)), तो पहले पूरे समीकरण को उस संख्या से भाग दें ताकि वर्ग वाले पदों का गुणांक 1 हो जाए।
सूत्र की व्याख्या
\(x^2 + \text{D}x\) पर पूर्ण वर्ग बनाने के लिए \((\text{D}/2)^2\) को जोड़ते और घटाते हैं, और इसी तरह y पदों के लिए \((\text{E}/2)^2\)। अचर पदों को दाईं ओर ले जाने पर मिलता है $$\left(x + \frac{\text{D}}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{\text{E}}{2}\right)^2 = \frac{\text{D}^2}{4} + \frac{\text{E}^2}{4} - \text{F}$$ इसलिए केंद्र \((-\text{D}/2, -\text{E}/2)\) होता है और त्रिज्या दाईं ओर के मान का वर्गमूल होती है। यदि यह मान ऋणात्मक हो तो कोई वास्तविक वृत्त नहीं बनता; और यदि यह शून्य हो तो समीकरण केवल एक बिंदु को दर्शाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\), यानी \(\text{D} = -6\), \(\text{E} = 8\), \(\text{F} = 9\)। केंद्र $$= \left(-\frac{-6}{2}, -\frac{8}{2}\right) = (3, -4)$$ त्रिज्या $$r^2 = \frac{36}{4} + \frac{64}{4} - 9 = 9 + 16 - 9 = 16$$ अतः \(r = 4\)। यह वृत्त \((3, -4)\) पर केंद्रित है और इसकी त्रिज्या 4 है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि त्रिज्या काल्पनिक (imaginary) हो तो? यदि \(\text{D}^2/4 + \text{E}^2/4 - \text{F}\) का मान ऋणात्मक हो, तो समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं होता और यह किसी असली वृत्त को नहीं दर्शाता।
क्या केंद्र मूल बिंदु (origin) पर हो सकता है? हाँ — जब \(\text{D} = 0\) और \(\text{E} = 0\) हों, तो केंद्र \((0, 0)\) होता है और \(r = \sqrt{-\text{F}}\)।
पहले अग्रणी गुणांक से भाग क्यों दें? ये सूत्र यह मानकर चलते हैं कि \(x^2\) और \(y^2\) दोनों के गुणांक 1 हैं, जो सामान्य रूप में वृत्त की मूल विशेषता है।
