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परिणाम

वृत्त का केंद्र

(3, -4)

Radius = 4

केंद्र x (h)	3
केंद्र y (k)	-4
त्रिज्या² (r²)	16
त्रिज्या (r)	4

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल सामान्य रूप में लिखे गए वृत्त, $x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0$, को मानक रूप, $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ में बदल देता है। यह x और y दोनों पदों पर पूर्ण वर्ग बनाकर ऐसा करता है, और फिर वृत्त का केंद्र $(h, k)$ तथा त्रिज्या $r$ बता देता है। बस तीन गुणांक D, E और F दर्ज करें और परिणाम तुरंत सामने आ जाएगा।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने समीकरण को $x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0$ के रूप से मिलाएं। x के आगे का गुणांक D है, y के आगे का गुणांक E है, और अकेला अचर पद F है। यहाँ चिह्नों का ध्यान रखना ज़रूरी है: $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0$ में $\text{D} = -6$, $\text{E} = 8$ और $\text{F} = 9$ होगा। यदि आपके समीकरण में $x^2$ और $y^2$ पर भी गुणांक हों (जैसे $2x^2 + 2y^2 + \ldots$), तो पहले पूरे समीकरण को उस संख्या से भाग दें ताकि वर्ग वाले पदों का गुणांक 1 हो जाए।

सूत्र की व्याख्या

$x^2 + \text{D}x$ पर पूर्ण वर्ग बनाने के लिए $(\text{D}/2)^2$ को जोड़ते और घटाते हैं, और इसी तरह y पदों के लिए $(\text{E}/2)^2$। अचर पदों को दाईं ओर ले जाने पर मिलता है $$\left(x + \frac{\text{D}}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{\text{E}}{2}\right)^2 = \frac{\text{D}^2}{4} + \frac{\text{E}^2}{4} - \text{F}$$ इसलिए केंद्र $(-\text{D}/2, -\text{E}/2)$ होता है और त्रिज्या दाईं ओर के मान का वर्गमूल होती है। यदि यह मान ऋणात्मक हो तो कोई वास्तविक वृत्त नहीं बनता; और यदि यह शून्य हो तो समीकरण केवल एक बिंदु को दर्शाता है।

निर्देशांक अक्षों पर वृत्त जो केंद्र बिंदु और त्रिज्या दिखाता है — मानक रूप सीधे केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ देता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लें $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0$, यानी $\text{D} = -6$, $\text{E} = 8$, $\text{F} = 9$। केंद्र $$= \left(-\frac{-6}{2}, -\frac{8}{2}\right) = (3, -4)$$ त्रिज्या $$r^2 = \frac{36}{4} + \frac{64}{4} - 9 = 9 + 16 - 9 = 16$$ अतः $r = 4$। यह वृत्त $(3, -4)$ पर केंद्रित है और इसकी त्रिज्या 4 है।

ज्यामितीय वर्ग पूर्णता जिसमें पूर्ण वर्ग बनाने के लिए कोने का टुकड़ा जोड़ा गया है — वर्ग पूरा करने से लुप्त कोने का टुकड़ा जुड़कर एक पूर्ण वर्ग बनता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि त्रिज्या काल्पनिक (imaginary) हो तो? यदि $\text{D}^2/4 + \text{E}^2/4 - \text{F}$ का मान ऋणात्मक हो, तो समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं होता और यह किसी असली वृत्त को नहीं दर्शाता।

क्या केंद्र मूल बिंदु (origin) पर हो सकता है? हाँ — जब $\text{D} = 0$ और $\text{E} = 0$ हों, तो केंद्र $(0, 0)$ होता है और $r = \sqrt{-\text{F}}$।

पहले अग्रणी गुणांक से भाग क्यों दें? ये सूत्र यह मानकर चलते हैं कि $x^2$ और $y^2$ दोनों के गुणांक 1 हैं, जो सामान्य रूप में वृत्त की मूल विशेषता है।

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