वृत्त का सामान्य रूप क्या होता है?
किसी वृत्त को समझने का सबसे सहज तरीका उसका मानक रूप (standard form) है: \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), जहाँ \((h, k)\) केंद्र है और \(r\) त्रिज्या। जब हम इस व्यंजक का विस्तार करके पदों को एक साथ रखते हैं, तो हमें सामान्य रूप (general form) मिलता है: \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)। यह कैलकुलेटर यही बदलाव आपके लिए करता है और तीनों गुणांक \(D\), \(E\) तथा \(F\) लौटाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
केंद्र का x-निर्देशांक (h), केंद्र का y-निर्देशांक (k) और त्रिज्या (r) दर्ज करें। यह टूल तुरंत सामान्य रूप के गुणांक निकालकर पूरा समीकरण दिखा देता है। ऋणात्मक केंद्र और दशमलव त्रिज्या दोनों पूरी तरह समर्थित हैं।
सूत्र की पूरी समझ
\((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) से शुरू करते हुए विस्तार करें: \(x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 = r^2\)। अब सब कुछ एक ओर ले जाएँ: \(x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - r^2) = 0\)। इसे \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) से मिलाने पर मिलता है:
$$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= -2\,\text{Center x (h)} \\ E &= -2\,\text{Center y (k)} \\ F &= \text{h}^{2} + \text{k}^{2} - \text{Radius (r)}^{2} \end{aligned} \right.$$
\(D = -2h\), \(E = -2k\), \(F = h^2 + k^2 - r^2\)
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए किसी वृत्त का केंद्र \((3, -2)\) और त्रिज्या \(4\) है। तब \(D = -2(3) = -6\), \(E = -2(-2) = 4\), और $$F = 3^2 + (-2)^2 - 4^2 = 9 + 4 - 16 = -3$$ इसलिए सामान्य रूप होगा \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या मैं वापस केंद्र और त्रिज्या निकाल सकता हूँ? हाँ — \(D, E, F\) दिए होने पर आप \(h = -D/2\), \(k = -E/2\), और \(r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}\) से वापस पा सकते हैं।
अगर F के कारण त्रिज्या काल्पनिक हो जाए तो? यदि \(h^2 + k^2 - F\) ऋणात्मक है तो कोई वास्तविक वृत्त नहीं बनता (इसे "काल्पनिक वृत्त" कहते हैं); वैध त्रिज्या के लिए \(r^2 = h^2 + k^2 - F \geq 0\) होना ज़रूरी है।
क्या D और E का क्रम मायने रखता है? \(D\) हमेशा \(x\) का गुणांक होता है और \(E\) हमेशा \(y\) का, इसलिए इन्हें इनके चरों के साथ ही जोड़े रखें।
