यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी वृत्त के समीकरण को उसके सामान्य रूप — \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) — से अधिक उपयोगी मानक रूप \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) में बदल देता है। मानक रूप से आप तुरंत वृत्त का केंद्र \((h, k)\) और उसकी त्रिज्या \(r\) पढ़ सकते हैं, जिससे ग्राफ़ बनाना और ज्यामिति के सवाल हल करना कहीं आसान हो जाता है।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
तीनों गुणांक ठीक वैसे ही दर्ज करें जैसे वे सामान्य समीकरण में दिखते हैं: D (x का गुणांक), E (y का गुणांक) और F (स्थिर पद)। कैलकुलेटर आपके लिए वर्ग पूरा करता है (completing the square) और केंद्र, त्रिज्या तथा पूरी तरह तैयार मानक-रूप समीकरण लौटा देता है।
सूत्र की व्याख्या
x और y वाले पदों पर वर्ग पूरा करने से \(h = -\dfrac{D}{2}\) और \(k = -\dfrac{E}{2}\) प्राप्त होता है। इन्हें वापस रखने पर दाईं ओर \(r^2 = h^2 + k^2 - F\) बन जाता है, अर्थात त्रिज्या \(r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}\)। यदि यह मान शून्य हो तो "वृत्त" केवल एक बिंदु बन जाता है, और यदि यह ऋणात्मक हो तो कोई वास्तविक वृत्त मौजूद नहीं होता।
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= -\dfrac{\text{D}}{2} \\ k &= -\dfrac{\text{E}}{2} \\ r &= \sqrt{h^2 + k^2 - \text{F}} \end{aligned} \right.$$
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\), यानी \(D = -6\), \(E = 8\), \(F = 9\)। तब \(h = -\dfrac{-6}{2} = 3\) और \(k = -\dfrac{8}{2} = -4\)। $$r^2 = 3^2 + (-4)^2 - 9 = 9 + 16 - 9 = 16$$ इसलिए \(r = 4\)। इसका मानक रूप है $$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर मेरे समीकरण में \(Ax^2 + Ay^2\) पद हों तो क्या करें? पहले पूरे समीकरण को \(A\) से भाग दें ताकि \(x^2\) और \(y^2\) के गुणांक 1 हो जाएँ, फिर प्राप्त D, E, F का उपयोग करें।
केंद्र \((-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2})\) क्यों होता है, \((\dfrac{D}{2}, \dfrac{E}{2})\) क्यों नहीं? वर्ग पूरा करते समय चिह्न बदल जाता है, इसलिए केंद्र के निर्देशांक रैखिक गुणांकों के आधे मानों के ऋणात्मक होते हैं।
ऋणात्मक \(r^2\) का क्या अर्थ है? इसका मतलब है कि समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है — असल में कोई वृत्त मौजूद नहीं, केवल एक काल्पनिक वृत्त है।
