यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल मानक रूप \(ax^2 + bx + c\) में लिखे किसी द्विघात समीकरण को वर्ग पूर्ण करने की विधि (completing the square) से शीर्ष रूप \(a(x - h)^2 + k\) में बदल देता है। शीर्ष रूप इसलिए सुविधाजनक है क्योंकि इससे शीर्ष \((h, k)\) सीधे दिख जाता है — यानी परवलय (parabola) का वह बिंदु जहाँ वह मुड़ता है — और ग्राफ़ में होने वाले रूपांतरण भी आसानी से समझ आ जाते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने द्विघात समीकरण के तीनों गुणांक \(a\), \(b\) और \(c\) दर्ज करें। कैलकुलेटर \(h\) और \(k\) की गणना करके समीकरण को शीर्ष रूप में फिर से लिख देगा। गुणांक \(a\) दोनों ही रूपों में एक जैसा रहता है; केवल बाकी पदों को समूह में रखने का तरीका बदलता है।
सूत्र की व्याख्या
वर्ग पूर्ण करने में पहले दो पदों में से \(a\) को बाहर निकाला जाता है और एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए ज़रूरी पद जोड़ा जाता है। इससे संक्षिप्त सूत्र मिलते हैं:
$$h = \frac{-b}{2a} \qquad k = c - \frac{b^2}{4a}$$चूँकि \(a\) नहीं बदलता, इसलिए पूरा शीर्ष रूप होता है
$$y = a(x - h)^2 + k$$जब \(a > 0\) हो तो शीर्ष \((h, k)\) न्यूनतम बिंदु होता है, और जब \(a < 0\) हो तो अधिकतम बिंदु होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(y = x^2 - 6x + 5\), यानी \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\)। तब
$$h = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = 3$$$$k = 5 - \frac{(-6)^2}{4 \cdot 1} = 5 - \frac{36}{4} = 5 - 9 = -4$$इस प्रकार शीर्ष रूप है \(y = (x - 3)^2 - 4\), जिसका शीर्ष \((3, -4)\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर \(a = 0\) हो तो? तब यह द्विघात समीकरण नहीं रह जाता — यह रैखिक (linear) बन जाता है — और इसमें कोई परवलय या शीर्ष नहीं होता।
क्या \(k\) हमेशा न्यूनतम मान होता है? जब \(a\) धनात्मक हो तो \(k\), \(y\) का न्यूनतम मान होता है, और जब \(a\) ऋणात्मक हो तो अधिकतम मान।
क्या दोनों रूपों के बीच \(a\) बदलता है? नहीं। अग्रणी गुणांक \(a\) मानक रूप और शीर्ष रूप दोनों में एक समान रहता है।
