標準式轉頂點式計算機

輸入計算

a（x² 的係數）

b（x 的係數）

c（常數項）

結果

頂點式

y = 1(x − 3)² + -4

Vertex at (3, -4)

a	1
h = −b / (2a)	3
k = c − b² / (4a)	-4
頂點	(3, -4)

這個計算機的功能

本工具透過配方法，把寫成標準式 \(ax^2 + bx + c\) 的二次式，轉換為頂點式 \(a(x - h)^2 + k\)。頂點式之所以好用，是因為它能直接看出頂點 \((h, k)\)，也就是拋物線的轉折點，畫圖時各種平移與變化也一目了然。

使用方式

輸入二次式中的三個係數 \(a\)、\(b\)、\(c\)，計算機會算出 \(h\) 與 \(k\)，並將方程式改寫成頂點式。要注意的是，係數 \(a\) 在兩種形式中都維持不變，改變的只是其餘各項的組合方式。

公式說明

配方法會先把前兩項的 \(a\) 提出來，再補上能湊成完全平方的項。整理後可得到簡潔的公式：

$$\text{a}\,(x-h)^{2}+k \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{-\,\text{b}}{2\,\text{a}} \\[0.4em] k &= \text{c} - \dfrac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}} \end{aligned} \right.$$

由於 \(a\) 不變，完整的頂點式即為 \(y = a(x - h)^2 + k\)。當 \(a > 0\) 時，頂點 \((h, k)\) 為最小值；當 \(a < 0\) 時，則為最大值。

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頂點 \((h, k)\) 是拋物線的轉折點，\(h\) 也是它的對稱軸。

範例演算

以 \(y = x^2 - 6x + 5\) 為例，可得 \(a = 1\)、\(b = -6\)、\(c = 5\)。那麼

$$h = \frac{-(-6)}{2\cdot 1} = 3$$$$k = 5 - \frac{(-6)^2}{4\cdot 1} = 5 - \frac{36}{4} = 5 - 9 = -4$$

因此頂點式為 \(y = (x - 3)^2 - 4\)，頂點座標為 \((3, -4)\)。

配方法將 \(ax^2+bx+c\) 逐步改寫為 \(a(x-h)^2+k\)。

常見問題

如果 \(a = 0\) 會怎樣？那它就不是二次式，而是一次式，沒有拋物線，也沒有頂點。

\(k\) 一定是最小值嗎？當 \(a\) 為正時，\(k\) 是 \(y\) 的最小值；當 \(a\) 為負時，\(k\) 則是最大值。

\(a\) 在兩種形式間會改變嗎？不會。最高次項係數 \(a\) 在標準式與頂點式中完全相同。