ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحوّل هذه الأداة المعادلة التربيعية المكتوبة في الصيغة القياسية \(ax^{2}+bx+c\) إلى صيغة الرأس \(a(x-h)^{2}+k\) عبر طريقة إكمال المربع. وتتميز صيغة الرأس بأنها تُظهر مباشرةً إحداثيات الرأس \((h, k)\) — أي نقطة انعطاف القطع المكافئ — كما تجعل ملاحظة التحويلات الهندسية عند رسم المنحنى أمرًا سهلًا وواضحًا.
طريقة الاستخدام
أدخِل المعاملات الثلاثة \(a\) و\(b\) و\(c\) الخاصة بمعادلتك التربيعية. تحسب الأداة قيمتي \(h\) و\(k\) وتعيد كتابة المعادلة في صيغة الرأس. لاحظ أن المعامل \(a\) يبقى نفسه في الصيغتين؛ كل ما يتغير هو طريقة تجميع باقي الحدود.
شرح القانون
تقوم طريقة إكمال المربع على إخراج المعامل \(a\) كعامل مشترك من أول حدّين، ثم إضافة الحد اللازم لتكوين مربع كامل. وينتج عن ذلك قانونان مختصران هما:
$$\text{a}\,(x-h)^{2}+k \quad \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{-\,\text{b}}{2\,\text{a}} \\[0.4em] k &= \text{c} - \dfrac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}} \end{aligned} \right.$$وبما أن قيمة \(a\) لا تتغير، تصبح صيغة الرأس الكاملة هي \(y = a(x-h)^{2}+k\). ويمثّل الرأس \((h, k)\) نقطة صغرى عندما يكون \(a > 0\)، ونقطة عظمى عندما يكون \(a < 0\).
مثال محلول
لنأخذ المعادلة \(y = x^{2} - 6x + 5\)، حيث \(a = 1\) و\(b = -6\) و\(c = 5\). عندئذٍ نحسب
$$h = \frac{-(-6)}{2\cdot 1} = 3$$$$k = 5 - \frac{(-6)^{2}}{4\cdot 1} = 5 - \frac{36}{4} = 5 - 9 = -4$$وبذلك تكون صيغة الرأس هي \(y = (x - 3)^{2} - 4\)، والرأس عند النقطة \((3, -4)\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان \(a = 0\)؟ في هذه الحالة لا تكون المعادلة تربيعية بل خطية، ولا يوجد قطع مكافئ ولا رأس.
هل تمثّل \(k\) دائمًا القيمة الصغرى؟ تكون \(k\) أصغر قيمة لـ \(y\) عندما يكون \(a\) موجبًا، وتكون أكبر قيمة عندما يكون \(a\) سالبًا.
هل تتغير قيمة \(a\) بين الصيغتين؟ لا. يبقى المعامل الرئيسي \(a\) نفسه في كل من الصيغة القياسية وصيغة الرأس.
