ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة إيجاد نقطة الانعطاف (رأس القطع المكافئ) للدالة التربيعية \(f(x) = ax^2 + bx + c\)، ثم تحدد قيمتها الصغرى أو العظمى. عندما يكون المعامل \(a\) موجبًا يفتح القطع المكافئ نحو الأعلى، فيكون الرأس هو أخفض نقطة، أي قيمة صغرى. أما إذا كان \(a\) سالبًا فيفتح القطع نحو الأسفل، ويصبح الرأس أعلى نقطة، أي قيمة عظمى. وتعمل الأداة مع أي معاملات حقيقية شريطة ألا يساوي \(a\) صفرًا.
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة \(a\) و\(b\) و\(c\) من معادلتك المكتوبة بالصيغة القياسية \(ax^2 + bx + c\). ستعرض الحاسبة الإحداثي السيني لرأس القطع، والقيمة الحدية (الإحداثي الصادي)، إضافة إلى تحديد ما إذا كانت هذه القيمة صغرى أم عظمى. وإذا أدخلت \(a = 0\) عن طريق الخطأ فإن العبارة تصبح خطية وليست تربيعية، وستنبهك الحاسبة إلى ضرورة استخدام قيمة غير صفرية للمعامل \(a\).
شرح القانون
يقع الرأس على محور التماثل، ويُوجد بمساواة المشتقة بالصفر: \(x^* = -b/(2a)\). وبالتعويض بهذه القيمة في الدالة وتبسيط الناتج نحصل مباشرة على القيمة الحدية وفق العلاقة:
$$y_{vertex} = \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}$$وهذا مكافئ جبريًا تمامًا لطريقة إكمال المربع، التي تعيد كتابة الدالة التربيعية على الصورة \(a(x - x^*)^2 + \text{القيمة}\).
مثال محلول
لنأخذ \(f(x) = x^2 - 4x + 3\)، حيث \(a = 1\) و\(b = -4\) و\(c = 3\). يكون رأس القطع \(x^* = -(-4)/(2\cdot 1) = 2\). والقيمة الصغرى:
$$3 - \frac{(-4)^{2}}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$وبما أن \(a > 0\) فإن القطع المكافئ يفتح نحو الأعلى، لذا فإن \(-1\) هي قيمة صغرى تتحقق عند \(x = 2\).
الأسئلة الشائعة
هل الناتج قيمة صغرى أم عظمى؟ يكون قيمة صغرى عندما \(a > 0\) (يفتح نحو الأعلى)، وقيمة عظمى عندما \(a < 0\) (يفتح نحو الأسفل).
ماذا لو كان \(a\) يساوي 0؟ عندها تصبح الدالة خطية وليس لها رأس؛ أدخل قيمة غير صفرية للمعامل \(a\).
هل تعطي هذه الأداة مدى الدالة؟ نعم — فعندما \(a > 0\) يكون المدى \([\text{القيمة}, \infty)\)، وعندما \(a < 0\) يكون \((-\infty, \text{القيمة}]\).
