À quoi sert ce calculateur
Cet outil détermine le sommet d'une fonction du second degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\), puis indique sa valeur minimale ou maximale. Lorsque a est positif, la parabole est tournée vers le haut et le sommet correspond au point le plus bas : c'est un minimum. Lorsque a est négatif, la parabole est tournée vers le bas et le sommet correspond au point le plus haut : c'est un maximum. Le calcul fonctionne pour tous les coefficients réels, à condition que a soit différent de zéro.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coefficients a, b et c de votre équation écrite sous forme canonique développée \(ax^2 + bx + c\). Le calculateur renvoie l'abscisse du sommet, la valeur extrême (l'ordonnée) et précise s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum. Si vous indiquez par mégarde \(a = 0\), l'expression devient affine et non quadratique : l'outil vous invitera alors à choisir une valeur de a non nulle.
La formule expliquée
Le sommet se situe sur l'axe de symétrie, que l'on obtient en annulant la dérivée : \(x^* = -b/(2a)\). En réinjectant cette valeur dans la fonction et en simplifiant, on trouve directement la valeur extrême :
$$y_{vertex} = \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}$$Ce résultat est strictement équivalent à la mise sous forme canonique, qui réécrit la fonction sous la forme \(a(x - x^*)^2 + \text{valeur}\).
Exemple détaillé
Prenons \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), donc \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). Le sommet a pour abscisse \(x^* = -(-4)/(2\cdot 1) = 2\). La valeur minimale :
$$\text{valeur} = 3 - \frac{(-4)^{2}}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$Comme \(a > 0\), la parabole est tournée vers le haut : \(-1\) est donc bien un minimum, atteint en \(x = 2\).
FAQ
Le résultat est-il un minimum ou un maximum ? C'est un minimum lorsque \(a > 0\) (parabole tournée vers le haut) et un maximum lorsque \(a < 0\) (parabole tournée vers le bas).
Que se passe-t-il si a vaut 0 ? La fonction est alors affine et ne possède pas de sommet : saisissez une valeur de a non nulle.
Cela donne-t-il l'ensemble image de la fonction ? Oui — pour \(a > 0\), l'ensemble image est \([\text{valeur}, \infty)\) ; pour \(a < 0\), il est \((-\infty, \text{valeur}]\).
