İkinci Dereceden Fonksiyonun Minimum/Maksimum Değeri Hesaplama

Sonuç

Minimum Value

-1

occurs at x = 2

Tepe noktası x* = −b/(2a)	2
Tepe noktası değeri = c − b²/(4a)	-1
Tür	Minimum (opens upward, a > 0)1

Bu hesaplayıcı ne işe yarar?

Bu araç, $f(x) = ax^2 + bx + c$ biçimindeki ikinci dereceden bir fonksiyonun dönüm noktasını (tepe noktasını) bulur ve bu noktadaki minimum ya da maksimum değeri verir. a pozitif olduğunda parabol yukarı doğru açılır ve tepe noktası en alçak nokta, yani bir minimumdur. a negatif olduğunda parabol aşağı doğru açılır ve tepe noktası en yüksek nokta, yani bir maksimumdur. a sıfırdan farklı olduğu sürece araç tüm gerçek katsayılarla çalışır.

Nasıl kullanılır?

Denkleminizi standart biçimde $ax^2 + bx + c$ olarak yazıp a, b ve c katsayılarını girin. Hesaplayıcı, tepe noktasının x koordinatını, uç değeri (y koordinatı) ve bu değerin minimum mu yoksa maksimum mu olduğunu döndürür. Yanlışlıkla $a = 0$ girerseniz ifade ikinci dereceden değil doğrusal olur; bu durumda araç sizden sıfırdan farklı bir a değeri girmenizi ister.

Formülün açıklaması

Tepe noktası, simetri ekseni üzerindedir ve türevi sıfıra eşitleyerek bulunur: $x^* = -b/(2a)$. Bu değeri fonksiyonda yerine koyup sadeleştirdiğimizde uç değeri doğrudan elde ederiz:

$$y_{vertex} = \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}$$

Bu, parabolü $a(x - x^*)^2 + \text{değer}$ biçiminde yeniden yazan tam kareye tamamlama yöntemiyle cebirsel olarak aynıdır.

Reklam

İki parabol; biri minimum tepe noktasıyla yukarı açılan, diğeri maksimum tepe noktasıyla aşağı açılan — a>0 olduğunda tepe noktası bir minimumdur; a<0 olduğunda ise bir maksimumdur ve $x = -b/(2a)$ konumundadır.

Çözümlü örnek

$f(x) = x^2 - 4x + 3$ fonksiyonunu ele alalım; burada $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$'tür. Tepe noktası $x^* = -(-4)/(2\cdot 1) = 2$ olur. Minimum değer:

$$3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$

$a > 0$ olduğundan parabol yukarı açılır; dolayısıyla $-1$ değeri $x = 2$ noktasında ulaşılan bir minimumdur.

Tepe noktası işaretlenmiş tek bir parabol; eksenlerde x koordinatını ve minimum değeri gösteriyor — Çözümlü örnek: tepe noktası, ikinci dereceden ifadenin hem x konumunu hem de uç y değerini verir.

Sıkça sorulan sorular

Sonuç minimum mu yoksa maksimum mu? $a > 0$ olduğunda (yukarı açılan parabol) sonuç minimum, $a < 0$ olduğunda (aşağı açılan parabol) maksimumdur.

a sıfıra eşitse ne olur? Bu durumda fonksiyon doğrusaldır ve tepe noktası yoktur; sıfırdan farklı bir a değeri girin.

Bu araç fonksiyonun değer kümesini verir mi? Evet — $a > 0$ için değer kümesi $[\text{değer}, \infty)$, $a < 0$ için $(-\infty, \text{değer}]$ olur.

İlgili hesap makineleri

Kritik Değer Hesaplama Aracı

Hipotez testleri ve güven aralıkları için kritik değerleri kolayca hesaplayın. Güven düzeyi, serbestlik derecesi ve dağılım türünü girerek normal, t, ki-kare ve F dağılımlarında doğru sonuçlar alın.

Z Kritik Değer Hesaplayıcı

Herhangi bir anlamlılık düzeyi α için z kritik değerini bulun. Ters normal dağılımı kullanarak tek kuyruklu (zα) ve çift kuyruklu (±zα/2) testleri destekler.

Kuadratik Regresyon Hesaplayıcı

Verilerinize en küçük kareler yöntemiyle ikinci dereceden y = A + Bx + Cx² eğrisi uydurun. A, B, C katsayılarını ve korelasyon katsayısı r'yi anında öğrenin.

Beklenen Değer Hesaplama Aracı

Kesikli rastgele değişkenin beklenen değerini (ortalamasını) sonuçlar ve olasılıklardan E(X) = Σ xᵢ·pᵢ formülüyle hesaplayın. Ücretsiz ve anında sonuç.

İkinci Dereceden Denklem Çözücü

ax² + bx + c = 0 biçimindeki her ikinci dereceden denklemi kök formülüyle çözün. Reel veya karmaşık kökleri, diskriminantı ve köklerin türünü anında öğrenin.

Minimum ve Maksimum Hesaplama Aracı

Bir sayı listesinin minimum, maksimum, aralık, adet ve ortalama değerlerini anında bulun. Virgül veya boşlukla ayrılmış sayıları yapıştırmanız yeterli.