Công cụ này làm gì
Công cụ này giúp bạn xác định điểm đỉnh (tọa độ đỉnh) của hàm số bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c\) và cho biết giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm. Khi a dương, parabol có bề lõm hướng lên trên và đỉnh chính là điểm thấp nhất — đó là giá trị nhỏ nhất. Khi a âm, parabol có bề lõm hướng xuống dưới và đỉnh là điểm cao nhất — đó là giá trị lớn nhất. Công cụ hoạt động với mọi hệ số thực, miễn là a khác 0.
Cách sử dụng
Bạn chỉ cần nhập ba hệ số a, b và c lấy từ phương trình viết ở dạng chuẩn \(ax^2 + bx + c\). Máy tính sẽ trả về hoành độ của đỉnh, giá trị cực trị (tung độ của đỉnh) và cho biết giá trị đó là nhỏ nhất hay lớn nhất. Nếu bạn vô tình đặt \(a = 0\), biểu thức sẽ trở thành hàm bậc nhất chứ không còn là hàm bậc hai, và máy tính sẽ nhắc bạn nhập một giá trị a khác 0.
Giải thích công thức
Đỉnh của parabol nằm trên trục đối xứng, được tìm bằng cách cho đạo hàm bằng 0: \(x^* = -b/(2a)\). Thay giá trị này trở lại vào hàm số và rút gọn, ta thu được ngay giá trị cực trị:
$$\text{value} = \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}$$Kết quả này hoàn toàn tương đương về mặt đại số với phương pháp hoàn thành bình phương, tức là viết lại hàm bậc hai dưới dạng \(a(x - x^*)^2 + \text{value}\).
Ví dụ minh họa
Xét \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), vậy \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). Hoành độ đỉnh \(x^* = -(-4)/(2\cdot 1) = 2\). Giá trị nhỏ nhất:
$$3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$Vì \(a > 0\) nên parabol có bề lõm hướng lên trên, do đó \(-1\) là giá trị nhỏ nhất, đạt được tại \(x = 2\).
Câu hỏi thường gặp
Kết quả là giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất? Đó là giá trị nhỏ nhất khi \(a > 0\) (parabol lõm lên trên) và là giá trị lớn nhất khi \(a < 0\) (parabol lõm xuống dưới).
Nếu a bằng 0 thì sao? Khi đó hàm số trở thành hàm bậc nhất và không có đỉnh; bạn hãy nhập một giá trị a khác 0.
Công cụ này có cho biết tập giá trị của hàm số không? Có — với \(a > 0\), tập giá trị là \([\text{value}, \infty)\); với \(a < 0\), tập giá trị là \((-\infty, \text{value}]\).
