このツールでできること
このツールは、二次関数 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) の頂点（放物線が向きを変える点）を求め、その最小値または最大値を表示します。a が正のとき、放物線は上に開き、頂点が最も低い点、つまり最小値になります。a が負のときは、放物線は下に開き、頂点が最も高い点、つまり最大値になります。a が 0 でなければ、どんな実数の係数でも計算できます。
使い方
標準形 \(ax^2 + bx + c\) で表された式から、3 つの係数 a・b・c を入力してください。計算ツールが頂点の x 座標、極値（y 座標）、そしてその値が最小値か最大値かを返します。誤って \(a = 0\) と入力すると式は二次式ではなく一次式になるため、その場合は 0 以外の a を入力するよう促すメッセージが表示されます。
公式の解説
頂点は対称軸の上にあり、導関数を 0 とおくことで求められます。すなわち \(x^* = -b/(2a)\) です。これを関数に代入して整理すると、極値が直接
$$value = c - \frac{b^2}{4a}$$と得られます。これは平方完成と代数的にまったく同じで、平方完成では二次式を \(a(x - x^*)^2 + value\) の形に書き直します。
計算例
\(f(x) = x^2 - 4x + 3\) を考えます。このとき \(a = 1\)、\(b = -4\)、\(c = 3\) です。頂点は
$$x^* = \frac{-(-4)}{2\cdot 1} = 2$$最小値は
$$value = 3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$となります。a > 0 なので放物線は上に開き、x = 2 で最小値 −1 をとります。
よくある質問
答えは最小値ですか、それとも最大値ですか？ a > 0 のとき（上に開く）は最小値、a < 0 のとき（下に開く）は最大値になります。
a が 0 のときはどうなりますか？ その場合、関数は一次式となり頂点がありません。0 以外の a を入力してください。
このツールで関数の値域もわかりますか？ はい。a > 0 のとき値域は \([value, \infty)\)、a < 0 のとき \((-\infty, value]\) です。
