यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी द्विघात फलन \(f(x) = ax^2 + bx + c\) का मोड़ बिंदु (शीर्ष या vertex) ढूँढता है और उसका न्यूनतम या अधिकतम मान बताता है। जब a धनात्मक होता है, तो परवलय (parabola) ऊपर की ओर खुलता है और शीर्ष सबसे निचला बिंदु होता है — यानी न्यूनतम मान। जब a ऋणात्मक होता है, तो परवलय नीचे की ओर खुलता है और शीर्ष सबसे ऊँचा बिंदु होता है — यानी अधिकतम मान। यह टूल किसी भी वास्तविक गुणांक (real coefficients) के लिए काम करता है, बशर्ते a शून्य न हो।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने समीकरण को मानक रूप \(ax^2 + bx + c\) में लिखकर उसके तीन गुणांक a, b और c दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको शीर्ष का x-निर्देशांक, चरम मान (यानी y-निर्देशांक), और यह बताएगा कि वह मान न्यूनतम है या अधिकतम। अगर आप गलती से a = 0 रख देते हैं, तो व्यंजक रैखिक (linear) हो जाता है, द्विघात नहीं रहता — ऐसे में कैलकुलेटर आपसे a का कोई शून्येतर (non-zero) मान डालने को कहेगा।
सूत्र को समझें
शीर्ष सममिति-अक्ष (axis of symmetry) पर स्थित होता है, जिसे अवकलज (derivative) को शून्य के बराबर रखकर पाया जाता है: \(x^* = -b/(2a)\)। इस मान को फलन में वापस रखकर सरल करने पर चरम मान सीधे मिल जाता है:
$$y_{vertex} = \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}$$
यह बीजगणितीय रूप से पूर्ण वर्ग बनाने (completing the square) के बराबर ही है, जिसमें द्विघात को \(a(x - x^*)^2 + \text{मान}\) के रूप में फिर से लिखा जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), यानी a = 1, b = −4, c = 3। शीर्ष \(x^* = -(-4)/(2\cdot 1) = 2\)। न्यूनतम मान $$= 3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$ चूँकि a > 0 है, परवलय ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए −1 एक न्यूनतम मान है, जो \(x = 2\) पर मिलता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
उत्तर न्यूनतम होगा या अधिकतम? जब a > 0 हो (ऊपर की ओर खुलता है) तो यह न्यूनतम होता है, और जब a < 0 हो (नीचे की ओर खुलता है) तो यह अधिकतम होता है।
अगर a बराबर 0 हो तो क्या होगा? तब फलन रैखिक हो जाता है और उसका कोई शीर्ष नहीं होता; a का कोई शून्येतर मान दर्ज करें।
क्या यह फलन का परिसर (range) भी बताता है? हाँ — a > 0 के लिए परिसर \([\text{मान}, \infty)\) होता है; और a < 0 के लिए यह \((-\infty, \text{मान}]\) होता है।
