Kuadratik regresyon nedir?
Kuadratik regresyon, eşleştirilmiş (x, y) gözlemlerine \(y = A + B\cdot x + C\cdot x^{2}\) biçiminde ikinci dereceden bir polinom uydurur. Düz bir doğrunun aksine parabol, eğriliği yakalayabilir; yani önce yükselip sonra düşen ya da giderek hızlanan verileri modelleyebilir. Bu nedenle fizikte (eğik atış hareketi), ekonomide (maliyet eğrileri) ve iki değişken arasındaki ilişkinin "büküldüğü" her durumda yaygın olarak kullanılır. Burası tamamen matematik ve istatistik alanıdır: yöntem her yerde aynı şekilde çalışır, hiçbir bölgesel kurala ya da birime bağlı değildir.
Hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Veri noktalarınızı kutuya her satıra bir çift gelecek şekilde girin; x ve y değerlerini bir boşluk veya virgülle ayırın (örneğin 3, 5). A, B ve C olmak üzere üç katsayıyı belirleyebilmek için en az üç noktaya ihtiyacınız vardır; daha fazla nokta, daha güvenilir bir uyum sağlar. Kaç anlamlı basamak göstermek istediğinizi seçin; ardından A, B, C değerlerini, oluşturulan regresyon denklemini ve korelasyon katsayısı \(r\)'yi okuyun.
Formülün açıklaması
Katsayılar en küçük kareler yönteminden gelir. \(n\) adet nokta için \(\bar{x}\), \(\bar{y}\) ortalamaları ile karelerin ortalaması \(\overline{x^2}\) hesaplanır. Sonra ham moment özdeşlikleri kullanılarak merkezlenmiş toplamlar \(S_{xx}\), \(S_{xy}\), \(S_{xx^2}\), \(S_{x^2x^2}\) ve \(S_{x^2y}\) oluşturulur (örneğin \(S_{xx} = \Sigma x^{2} - n\cdot\bar{x}^{2}\)). \(\text{denom} = S_{xx}\cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}\) olmak üzere katsayılar şöyledir: $$y = A + Bx + Cx^{2}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}\,S_{x^2x^2} - S_{x^2y}\,S_{xx^2}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ C &= \frac{S_{x^2y}\,S_{xx} - S_{xy}\,S_{xx^2}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{x} - C\,\overline{x^2} \end{aligned} \right.$$ Korelasyon katsayısı \(r\) ise, kalıntı kareler toplamının toplam kareler toplamına oranı 1'den çıkarıldıktan sonra alınan karekökttür.
Çözümlü örnek
\((1,1)\), \((2,2)\), \((3,5)\), \((4,10)\), \((5,17)\) noktaları için: \(n = 5\), \(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 7\), \(\overline{x^2} = 11\). Buradan \(S_{xx} = 10\), \(S_{xy} = 40\), \(S_{xx^2} = 60\), \(S_{x^2x^2} = 374\), \(S_{x^2y} = 254\), \(\text{denom} = 140\) elde edilir. Ardından \(B = -2\), \(C = 1\), \(A = 2\) bulunur. Uyum eğrisi $$y = 2 - 2x + x^{2}$$ olur ve tüm noktalardan tam olarak geçtiği için \(r = 1\)'dir.
Sıkça sorulan sorular
Kaç noktaya ihtiyacım var? En az üç farklı \(x\) değeri gerekir; daha az noktayla ya da tüm \(x\) değerleri birbirine eşitse sistem bozulur ve çözülemez.
\(r\) ne anlama gelir? Kabaca bir kılavuz olarak: \(0{,}7 < |r| \le 1\) güçlü, \(0{,}4 < |r| < 0{,}7\) orta, \(0{,}2 < |r| < 0{,}4\) zayıf ve \(0{,}2\)'nin altı neredeyse hiç ilişki yok demektir. \(r\)'nin 1 olması, parabolün her noktadan geçtiği anlamına gelir.
Burada \(r\) neden hiç negatif olmuyor? Bu hesaplayıcı, belirleme katsayısının negatif olmayan karekökünü verir; bu nedenle eğrinin yönü ne olursa olsun \(r\), 0 ile 1 arasında değişir.
