ما هو الانحدار التربيعي؟
يقوم الانحدار التربيعي بمطابقة كثير حدود من الدرجة الثانية على الصورة \(y = A + B\cdot x + C\cdot x^{2}\) لمجموعة من الأزواج المرصودة (x، y). وعلى خلاف الخط المستقيم، يستطيع القطع المكافئ أن يلتقط الانحناء في البيانات — أي القيم التي ترتفع ثم تنخفض، أو التي تتسارع — لذلك يُستخدم على نطاق واسع في الفيزياء (حركة المقذوفات)، وفي الاقتصاد (منحنيات التكلفة)، وفي كل موقف تكون فيه العلاقة بين متغيرين منحنية. وهذه رياضيات وإحصاء بحت: تعمل الطريقة نفسها في كل مكان ولا تعتمد على قواعد أو وحدات محلية.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل نقاط بياناتك في الصندوق، زوجًا واحدًا في كل سطر، مع الفصل بين x وy بمسافة أو فاصلة (مثل 3, 5). تحتاج إلى ثلاث نقاط على الأقل لتحديد المعاملات الثلاثة A وB وC؛ وكلما زاد عدد النقاط كانت المطابقة أكثر موثوقية. اختر عدد الأرقام المعنوية المراد عرضها، ثم اقرأ قيم A وB وC، ومعادلة الانحدار المُجمَّعة، ومعامل الارتباط r.
شرح الصيغة
تُشتق المعاملات بطريقة المربعات الصغرى. مع وجود n نقطة، احسب المتوسطات \(\bar{x}\) و\(\bar{y}\) ومتوسط المربعات \(\overline{x^2}\). ثم كوِّن المجاميع المركزية \(S_{xx}\) و\(S_{xy}\) و\(S_{xx^2}\) و\(S_{x^2x^2}\) و\(S_{x^2y}\) باستخدام متطابقات العزوم الأولية (مثلًا \(S_{xx} = \Sigma x^{2} - n\cdot\bar{x}^{2}\)). وبجعل \(\text{denom} = S_{xx}\cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}\)، تكون المعاملات:
$$y = A + Bx + Cx^{2}$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}\,S_{x^2x^2} - S_{x^2y}\,S_{xx^2}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ C &= \frac{S_{x^2y}\,S_{xx} - S_{xy}\,S_{xx^2}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{x} - C\,\overline{x^2} \end{aligned} \right.$$أما معامل الارتباط r فهو الجذر التربيعي للقيمة (1 ناقص نسبة مجموع مربعات البواقي إلى مجموع المربعات الكلي).
مثال محلول
للنقاط (1،1)، (2،2)، (3،5)، (4،10)، (5،17): \(n = 5\)، و\(\bar{x} = 3\)، و\(\bar{y} = 7\)، و\(\overline{x^2} = 11\). وهذا يعطي \(S_{xx} = 10\)، و\(S_{xy} = 40\)، و\(S_{xx^2} = 60\)، و\(S_{x^2x^2} = 374\)، و\(S_{x^2y} = 254\)، و\(\text{denom} = 140\). ومن ثَمَّ \(B = -2\)، و\(C = 1\)، و\(A = 2\). وتكون المطابقة \(y = 2 - 2x + x^{2}\)، وهي تمر عبر كل نقطة بدقة، لذا \(r = 1\).
الأسئلة الشائعة
كم عدد النقاط التي أحتاجها؟ ثلاث قيم مختلفة لـ x على الأقل؛ فإذا قلَّ العدد عن ذلك، أو تساوت جميع قيم x، يصبح النظام منحلًّا ولا يمكن حله.
ماذا يعني r؟ كدليل تقريبي: \(0.7 < |r| \le 1\) يدل على ارتباط قوي، و\(0.4 < |r| < 0.7\) متوسط، و\(0.2 < |r| < 0.4\) ضعيف، وما دون 0.2 يكاد يكون معدومًا. والقيمة 1 تعني أن القطع المكافئ يمر عبر كل نقطة.
لماذا لا يكون r سالبًا هنا أبدًا؟ تُظهر هذه الحاسبة الجذر غير السالب لمعامل التحديد، لذلك تتراوح قيمة r بين 0 و1 بصرف النظر عن اتجاه المنحنى.
