À quoi sert ce calculateur
Cet outil transforme un trinôme du second degré écrit sous sa forme développée \(ax^2 + bx + c\) en sa forme canonique \(a(x - h)^2 + k\), en utilisant la méthode de complétion du carré. La forme canonique est très pratique : elle fait apparaître directement le sommet \((h, k)\) de la parabole — son point extremum — et permet de visualiser facilement les transformations du graphe.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) de votre trinôme. Le calculateur détermine \(h\) et \(k\), puis réécrit l'équation sous forme canonique. Le coefficient \(a\) reste identique dans les deux écritures ; seule la manière de regrouper le reste de l'expression change.
La formule expliquée
La complétion du carré consiste à factoriser \(a\) dans les deux premiers termes, puis à ajouter le terme nécessaire pour reconstituer un carré parfait. On aboutit aux formules compactes $$h = \frac{-b}{2a}$$ et $$k = c - \frac{b^2}{4a}.$$ Comme \(a\) ne change pas, la forme canonique complète s'écrit $$y = a(x - h)^2 + k.$$ Le sommet \((h, k)\) correspond à un minimum lorsque \(a > 0\) et à un maximum lorsque \(a < 0\).
Exemple résolu
Prenons \(y = x^2 - 6x + 5\), soit \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\). On obtient alors $$h = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = 3$$ et $$k = 5 - \frac{(-6)^2}{4 \cdot 1} = 5 - \frac{36}{4} = 5 - 9 = -4.$$ La forme canonique est donc \(y = (x - 3)^2 - 4\), avec un sommet en \((3, -4)\).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si \(a = 0\) ? Dans ce cas, il ne s'agit plus d'un trinôme du second degré, mais d'une fonction affine : il n'y a ni parabole ni sommet.
\(k\) est-il toujours le minimum ? \(k\) correspond à la valeur minimale de \(y\) lorsque \(a\) est positif, et à la valeur maximale lorsque \(a\) est négatif.
Le coefficient \(a\) change-t-il d'une forme à l'autre ? Non. Le coefficient dominant \(a\) est rigoureusement identique dans la forme développée et dans la forme canonique.
