この計算ツールでできること
このツールは、円の方程式を一般形（\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)）から、より扱いやすい標準形（\((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)）に変換します。標準形にすれば、円の中心 \((h, k)\) と半径 \(r\) をそのまま読み取れるので、グラフの作図や図形問題がぐっと簡単になります。
使い方
一般形の方程式に出てくる3つの係数を、そのままの値で入力してください。D（xの係数）、E（yの係数）、F（定数項）の3つです。あとはツールが平方完成を自動で行い、中心・半径・完成した標準形の方程式を返します。
計算式の解説
x の項と y の項について平方完成をすると、\(h = -\dfrac{D}{2}\)、\(k = -\dfrac{E}{2}\) が得られます。これを代入し直すと、右辺は \(r^2 = h^2 + k^2 - F\) となるので、半径は次の式で求められます。
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= -\dfrac{\text{D}}{2} \\ k &= -\dfrac{\text{E}}{2} \\ r &= \sqrt{h^2 + k^2 - \text{F}} \end{aligned} \right.$$この値がちょうど0になる場合、「円」は1つの点に縮退します。負になる場合は、実数の円は存在しません。
計算例
\(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\) を例にとると、\(D = -6\)、\(E = 8\)、\(F = 9\) です。すると \(h = -\dfrac{-6}{2} = 3\)、\(k = -\dfrac{8}{2} = -4\) となります。半径の2乗は \(3^2 + (-4)^2 - 9 = 9 + 16 - 9 = 16\) なので、\(r = 4\) です。したがって標準形は次のようになります。
$$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$$
よくある質問
方程式に \(Ax^2 + Ay^2\) の項がある場合は？ まず方程式全体を A で割り、\(x^2\) と \(y^2\) の係数を1にしてから、得られた D、E、F を使ってください。
中心が \((D/2, E/2)\) ではなく \((-D/2, -E/2)\) になるのはなぜ？ 平方完成の過程で符号が反転するためです。そのため中心の座標は、1次の係数の半分にマイナスをつけた値になります。
\(r^2\) が負になるのはどういう意味？ その方程式には実数解が存在しないことを意味します。つまり実際の円は存在せず、虚円（imaginary circle）になります。
