Bu Hesaplayıcı Ne İşe Yarar?
Bu araç, bir çemberin denklemini genel formundan — \(x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0\) — çok daha kullanışlı olan standart forma \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) dönüştürür. Standart formdan çemberin merkezini \((h, k)\) ve yarıçapını \(r\) doğrudan okuyabilirsiniz; bu da grafik çizimini ve geometri problemlerini çözmeyi oldukça kolaylaştırır.
Nasıl Kullanılır?
Genel denklemde göründükleri haliyle üç katsayıyı girin: D (x'in katsayısı), E (y'nin katsayısı) ve F (sabit terim). Hesaplayıcı sizin için tam kareye tamamlama işlemini yapar ve merkezi, yarıçapı ve tam olarak oluşturulmuş standart form denklemini verir.
Formülün Açıklaması
x ve y terimlerinde tam kareye tamamlama yaptığımızda \(h = -\frac{\text{D}}{2}\) ve \(k = -\frac{\text{E}}{2}\) elde edilir. Bunları yerine koyduğumuzda eşitliğin sağ tarafı \(r^2 = h^2 + k^2 - \text{F}\) olur; dolayısıyla yarıçap \(r = \sqrt{h^2 + k^2 - \text{F}}\) şeklindedir. Bu değer sıfırsa "çember" tek bir noktadır; negatifse gerçek bir çember yoktur.
$$\begin{gathered} (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= -\dfrac{\text{D}}{2} \\ k &= -\dfrac{\text{E}}{2} \\ r &= \sqrt{h^2 + k^2 - \text{F}} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Çözümlü Örnek
\(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\) denklemini ele alalım; buradan \(\text{D} = -6\), \(\text{E} = 8\), \(\text{F} = 9\) olur. O zaman \(h = -\frac{-6}{2} = 3\) ve \(k = -\frac{8}{2} = -4\) bulunur. Yarıçapın karesi $$3^2 + (-4)^2 - 9 = 9 + 16 - 9 = 16$$ olduğundan \(r = 4\)'tür. Standart form $$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$$ şeklindedir.
Sıkça Sorulan Sorular
Denklemimde Ax² + Ay² terimleri varsa ne yapmalıyım? Önce tüm denklemi A'ya bölerek x² ve y² katsayılarını 1 yapın, ardından elde ettiğiniz D, E ve F değerlerini kullanın.
Merkez neden \((\text{D}/2, \text{E}/2)\) değil de \((-\text{D}/2, -\text{E}/2)\)? Tam kareye tamamlama işlemi bir işaret değişimine yol açar; bu yüzden merkez koordinatları doğrusal katsayıların yarısının negatifidir.
Negatif bir \(r^2\) ne anlama gelir? Denklemin gerçek bir çözümü olmadığı anlamına gelir — ortada gerçek bir çember yoktur, yalnızca sanal bir çember vardır.
