Qué hace esta calculadora
Esta herramienta convierte la ecuación de una circunferencia desde su forma general — \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) — a la mucho más práctica forma ordinaria \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). A partir de la forma ordinaria puedes leer de inmediato el centro \((h, k)\) y el radio \(r\) de la circunferencia, lo que simplifica enormemente la representación gráfica y los problemas de geometría.
Cómo usarla
Introduce los tres coeficientes tal y como aparecen en la ecuación general: D (el coeficiente de x), E (el coeficiente de y) y F (el término independiente). La calculadora completa el cuadrado por ti y te devuelve el centro, el radio y la ecuación en forma ordinaria ya montada.
La fórmula explicada
Al completar el cuadrado en los términos de x e y se obtiene \(h = -\dfrac{D}{2}\) y \(k = -\dfrac{E}{2}\). Al sustituir de nuevo, el lado derecho queda como \(r^2 = h^2 + k^2 - F\), de modo que el radio es \(r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}\). Si esa cantidad vale cero, la «circunferencia» se reduce a un único punto; y si es negativa, no existe ninguna circunferencia real.
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$ $$\text{donde}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= -\dfrac{D}{2} \\ k &= -\dfrac{E}{2} \\ r &= \sqrt{h^2 + k^2 - F} \end{aligned} \right.$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\), de modo que \(D = -6\), \(E = 8\) y \(F = 9\). Entonces \(h = -\dfrac{-6}{2} = 3\) y \(k = -\dfrac{8}{2} = -4\). El radio al cuadrado es $$3^2 + (-4)^2 - 9 = 9 + 16 - 9 = 16,$$ así que \(r = 4\). La forma ordinaria es $$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16.$$
Preguntas frecuentes
¿Y si mi ecuación tiene términos Ax² + Ay²? Divide toda la ecuación entre A primero, para que los coeficientes de \(x^2\) e \(y^2\) sean 1, y luego usa los nuevos valores de D, E y F.
¿Por qué el centro es \((-D/2, -E/2)\) y no \((D/2, E/2)\)? Al completar el cuadrado se produce un cambio de signo, por lo que las coordenadas del centro son los opuestos de la mitad de los coeficientes lineales.
¿Qué significa un \(r^2\) negativo? Significa que la ecuación no tiene soluciones reales: no existe ninguna circunferencia real, solo una imaginaria.
