Qué hace este conversor
Esta herramienta convierte un punto descrito en coordenadas esféricas 3D a coordenadas cartesianas estándar (x, y, z). Solo tienes que indicar la distancia radial r, el ángulo azimutal theta (medido en el plano x-y) y el ángulo polar phi (medido desde el eje z positivo hacia abajo), y obtendrás la posición rectangular equivalente.
Convención de ángulos utilizada
Los nombres de los dos ángulos varían según el libro de texto. Esta calculadora usa el criterio en el que theta es el azimut (la rotación en el plano x-y) y phi es el ángulo polar (la inclinación respecto al eje +z). Si tu fuente intercambia estos nombres, basta con que intercambies los valores que introduces para que las cuentas cuadren.
Cómo usarlo
Introduce r, theta y phi y elige después si tus ángulos están en grados (opción predeterminada) o en radianes. El conversor pasa internamente los ángulos a radianes (multiplicando por \(\pi/180\) cuando están en grados) antes de aplicar las funciones trigonométricas, y luego muestra x, y y z con unas diez cifras significativas.
La fórmula explicada
El punto se encuentra sobre una esfera de radio r. El ángulo polar phi determina cuánto se inclina el punto respecto al eje vertical: \(z = r\cdot\cos\phi\). La proyección horizontal tiene una longitud \(r\cdot\sin\phi\), y el azimut theta reparte esa proyección entre los ejes x e y, lo que da \(x = r\cdot\sin\phi\cdot\cos\theta\) e \(y = r\cdot\sin\phi\cdot\sin\theta\).
$$x = r\,\sin\phi\,\cos\theta,\quad y = r\,\sin\phi\,\sin\theta,\quad z = r\,\cos\phi$$
Ejemplo resuelto
Tomemos r = 5, theta = 60 grados y phi = 30 grados. Entonces \(\sin\phi = 0{,}5\), \(\cos\phi = 0{,}8660254\), \(\cos\theta = 0{,}5\) y \(\sin\theta = 0{,}8660254\). Así, $$x = 5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 1{,}25,$$ $$y = 5 \times 0{,}5 \times 0{,}8660254 = 2{,}16506351$$ y $$z = 5 \times 0{,}8660254 = 4{,}33012702.$$ El punto cartesiano es (1,25, 2,16506351, 4,33012702).
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si r = 0? El punto está en el origen (0, 0, 0), sin importar los ángulos.
¿Pueden los ángulos ser negativos o mayores de 360? Sí. Las funciones trigonométricas son periódicas, así que cualquier ángulo real es válido y se procesa correctamente.
¿Qué significa phi = 0? El punto se sitúa sobre el eje z positivo: \(x = y = 0\) y \(z = r\). Un phi de 180 grados lo coloca sobre el eje z negativo (\(z = -r\)).
