Công cụ chuyển tọa độ cầu sang tọa độ Descartes

Nhập phép tính

r (bán kính)

theta (góc phương vị, mặt phẳng x-y)

phi (góc cực, tính từ trục +z)

Đơn vị góc Degrees Radians

Kết quả

Tọa độ Descartes (x, y, z)

( 1,25, 2,1650635095, 4,3301270189 )

x = r·sin(phi)·cos(theta), y = r·sin(phi)·sin(theta), z = r·cos(phi)

x	1,25
y	2,1650635095
z	4,3301270189

Công cụ này làm gì

Công cụ giúp bạn chuyển một điểm được mô tả bằng tọa độ cầu trong không gian 3D sang tọa độ Descartes chuẩn (x, y, z). Bạn chỉ cần nhập bán kính r, góc phương vị theta (đo trong mặt phẳng x-y) và góc cực phi (đo từ trục z dương xuống), công cụ sẽ trả về vị trí tương ứng trong hệ tọa độ vuông góc.

Quy ước về góc được sử dụng

Cách đặt tên cho hai góc có thể khác nhau tùy theo từng giáo trình. Công cụ này dùng quy ước trong đó theta là góc phương vị (góc quay trong mặt phẳng x-y) và phi là góc cực (độ nghiêng so với trục +z). Nếu tài liệu của bạn dùng ngược lại hai tên này, bạn chỉ cần hoán đổi giá trị nhập vào để kết quả khớp với công thức.

Tọa độ cầu: r là bán kính, phi là góc cực tính từ trục z, và theta là góc phương vị trong mặt phẳng xy.

Cách sử dụng

Nhập r, theta và phi, sau đó chọn đơn vị góc là Độ (mặc định) hay Radian. Công cụ sẽ tự quy đổi góc sang radian bên trong (nhân với \(\pi/180\) nếu là độ) trước khi áp dụng các hàm lượng giác, rồi hiển thị x, y và z với độ chính xác khoảng mười chữ số có nghĩa.

Quảng cáo

Giải thích công thức

Điểm cần tìm nằm trên mặt cầu bán kính r. Góc cực phi quyết định độ nghiêng của điểm so với trục thẳng đứng: \(z = r\cdot\cos\phi\). Hình chiếu lên mặt phẳng ngang có độ dài \(r\cdot\sin\phi\), và góc phương vị theta phân bổ hình chiếu này giữa trục x và trục y, cho ta:

$$x = r\,\sin\phi\,\cos\theta,\quad y = r\,\sin\phi\,\sin\theta,\quad z = r\,\cos\phi$$

Mỗi thành phần Descartes là bán kính nhân với sin và cosin của các góc.

Ví dụ minh họa

Lấy \(r = 5\), \(\theta = 60\) độ, \(\phi = 30\) độ. Khi đó \(\sin\phi = 0.5\), \(\cos\phi = 0.8660254\), \(\cos\theta = 0.5\), \(\sin\theta = 0.8660254\). Suy ra:

$$x = 5 \times 0.5 \times 0.5 = 1.25$$$$y = 5 \times 0.5 \times 0.8660254 = 2.16506351$$$$z = 5 \times 0.8660254 = 4.33012702$$

Vậy điểm trong tọa độ Descartes là (1.25, 2.16506351, 4.33012702).

Quảng cáo

Câu hỏi thường gặp

Nếu r = 0 thì sao? Điểm nằm tại gốc tọa độ (0, 0, 0), bất kể giá trị các góc là bao nhiêu.

Góc có thể âm hoặc lớn hơn 360 không? Có. Các hàm lượng giác có tính tuần hoàn, nên mọi góc thực đều hợp lệ và được xử lý chính xác.

phi = 0 có ý nghĩa gì? Điểm nằm trên trục z dương: \(x = y = 0\) và \(z = r\). Còn \(\phi = 180\) độ sẽ đặt điểm trên trục z âm (\(z = -r\)).