Qué hace este conversor
Esta herramienta convierte un punto del espacio 3D desde coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z) a coordenadas esféricas (r, θ, φ). Se trata de matemáticas puras y vale en cualquier parte del mundo — no existen reglas que dependan de la región o el país. El conversor sigue la convención de física/ISO: θ es el ángulo azimutal (la rotación alrededor del eje z) y φ es el ángulo polar (de inclinación) medido desde el eje +z.
La convención utilizada
Cilíndricas: ρ es la distancia radial al eje z (ρ ≥ 0), θ es el ángulo azimutal en el plano xy y z es la altura. Esféricas: r es la distancia al origen, θ es ese mismo ángulo azimutal (que se mantiene sin cambios) y φ es el ángulo hacia abajo desde el eje +z. Como r y φ dependen únicamente de ρ y de z, el ángulo azimutal θ nunca varía entre ambos sistemas.
Cómo usarlo
Introduce ρ, θ y z, indica si tus ángulos están en grados o en radianes y elige la precisión de salida. El resultado te da r, la θ sin modificar y la φ calculada, todo en la misma unidad angular que hayas seleccionado.
Las fórmulas explicadas
La distancia radial se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras en el plano que contiene el eje z y el punto: $$r = \sqrt{\rho^{2} + z^{2}}$$ El ángulo polar es $$\varphi = \operatorname{atan2}\!\left(\rho,\; z\right)$$ Usamos atan2 en lugar de \(\operatorname{atan}(\rho/z)\) para que \(z = 0\) devuelva exactamente 90°, \(z < 0\) dé un ángulo mayor de 90° y el resultado quede siempre dentro de \([0, \pi]\).
Ejemplo resuelto
Para \(\rho = 3\), \(\theta = 60°\), \(z = 4\): $$r = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ $$\varphi = \operatorname{atan2}(3, 4) = \operatorname{atan}(0{,}75) = 36{,}86989765°$$ \(\theta\) sigue siendo 60°. Por tanto, las coordenadas esféricas son \((5,\; 60°,\; 36{,}86989765°)\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué no cambia θ? Ambos sistemas miden el ángulo azimutal de la misma forma alrededor del eje z, así que simplemente se conserva.
¿Qué ocurre cuando z = 0? El punto está en el plano xy, por lo que \(\varphi = 90°\) (\(\pi/2\)). atan2 resuelve este caso sin dividir entre cero.
¿Y si ρ = 0 y z = 0? El punto es el origen: \(r = 0\) y φ queda matemáticamente indefinida (la herramienta devuelve 0).
